Theorem uzred 46668

Description: An upper integer is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzred.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzred.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
uzred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem uzred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12730	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		uzred.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzred.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)
4	2, 3	eluzelz2d 46638	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
5	1, 4	sselid 3911	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-neg 11574  df-z 12724  df-uz 12996

This theorem is used by:  uzxrd  46687  liminflelimsupuz  47010