Theorem uzxrd 45430

Description: An upper integer is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzxrd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
uzxrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
uzxrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem uzxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 11287	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		uzxrd.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		uzxrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)
4	2, 3	uzred 45411	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sselid 3961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  ℝcr 11136  ℝ^*cxr 11276  ℤ_≥cuz 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416  df-xr 11281  df-neg 11477  df-z 12597  df-uz 12861

This theorem is referenced by:  uzxr  45436  liminflelimsupuz  45757