Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflelimsupuz 42073
Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsupuz.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflelimsupuz.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsupuz (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminflelimsupuz.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2 liminflelimsupuz.2 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
32fvexi 6686 . . . 4 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 41386 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
6 liminflelimsupuz.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76, 2uzubico2 41853 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗𝑍)
81ffnd 6517 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
98adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗𝑍)
122, 11uzxrd 41745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10697 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
1512xrleidd 12548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗𝑗)
162, 11uzred 41724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
17 ltpnf 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 < +∞)
1912, 14, 12, 15, 18elicod 12790 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
2019adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
219, 10, 20fnfvimad 6998 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
221ffvelrnda 6853 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
2321, 22elind 4173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
2423ne0d 4303 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
2524ex 415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
2625ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
2726reximdva 3276 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
2827ralimdva 3179 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
297, 28mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
305, 29liminflelimsup 42064 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3018  wral 3140  wrex 3141  Vcvv 3496  cin 3937  c0 4293   class class class wbr 5068  cima 5560   Fn wfn 6352  wf 6353  cfv 6357  (class class class)co 7158  cr 10538  +∞cpnf 10674  *cxr 10676   < clt 10677  cle 10678  cz 11984  cuz 12246  [,)cico 12743  lim supclsp 14829  lim infclsi 42039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-fl 13165  df-ceil 13166  df-limsup 14830  df-liminf 42040
This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  42076  liminflimsupclim  42095  xlimliminflimsup  42150
  Copyright terms: Public domain W3C validator