Theorem liminflelimsupuz 45740

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsupuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsupuz.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminflelimsupuz.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		liminflelimsupuz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6, 2	uzubico2 45522	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍)
8	1	ffnd 6737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	2, 11	uzxrd 45411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
15	12	xrleidd 13190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ≤ 𝑗)
16	2, 11	uzred 45392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
17		ltpnf 13159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 < +∞)
19	12, 14, 12, 15, 18	elicod 13433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
21	9, 10, 20	fnfvimad 7253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
22	1	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
23	21, 22	elind 4209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
24	23	ne0d 4347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
26	25	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
27	26	reximdva 3165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
28	27	ralimdva 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
29	7, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
30	5, 29	liminflelimsup 45731	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ∩ cin 3961  ∅c0 4338   class class class wbr 5147   “ cima 5691   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  [,)cico 13385  lim supclsp 15502  lim infclsi 45706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-limsup 15503  df-liminf 45707

This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  45743  liminflimsupclim  45762  xlimliminflimsup  45817