Theorem liminflelimsupuz 46231

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsupuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsupuz.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminflelimsupuz.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7175	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		liminflelimsupuz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6, 2	uzubico2 46016	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍)
8	1	ffnd 6663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	2, 11	uzxrd 45908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
15	12	xrleidd 13094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ≤ 𝑗)
16	2, 11	uzred 45889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
17		ltpnf 13062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 < +∞)
19	12, 14, 12, 15, 18	elicod 13339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
21	9, 10, 20	fnfvimad 7182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
22	1	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
23	21, 22	elind 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
24	23	ne0d 4283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
26	25	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
27	26	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
28	27	ralimdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
29	7, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
30	5, 29	liminflelimsup 46222	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  [,)cico 13291  lim supclsp 15423  lim infclsi 46197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fl 13742  df-ceil 13743  df-limsup 15424  df-liminf 46198

This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  46234  liminflimsupclim  46253  xlimliminflimsup  46308