Theorem liminflelimsupuz 43216

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsupuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsupuz.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminflelimsupuz.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7085	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		liminflelimsupuz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6, 2	uzubico2 42998	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍)
8	1	ffnd 6585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	2, 11	uzxrd 42892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 10960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
15	12	xrleidd 12815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ≤ 𝑗)
16	2, 11	uzred 42873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
17		ltpnf 12785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 < +∞)
19	12, 14, 12, 15, 18	elicod 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
21	9, 10, 20	fnfvimad 7092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
22	1	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
23	21, 22	elind 4124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
24	23	ne0d 4266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
26	25	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
27	26	reximdva 3202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
28	27	ralimdva 3102	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
29	7, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
30	5, 29	liminflelimsup 43207	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  [,)cico 13010  lim supclsp 15107  lim infclsi 43182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-fl 13440  df-ceil 13441  df-limsup 15108  df-liminf 43183

This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  43219  liminflimsupclim  43238  xlimliminflimsup  43293