Theorem liminflelimsupuz 45814

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsupuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsupuz.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminflelimsupuz.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6890	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7219	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		liminflelimsupuz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6, 2	uzubico2 45597	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍)
8	1	ffnd 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	2, 11	uzxrd 45489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
15	12	xrleidd 13168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ≤ 𝑗)
16	2, 11	uzred 45470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
17		ltpnf 13136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 < +∞)
19	12, 14, 12, 15, 18	elicod 13412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
21	9, 10, 20	fnfvimad 7226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
22	1	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
23	21, 22	elind 4175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
24	23	ne0d 4317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
26	25	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
27	26	reximdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
28	27	ralimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
29	7, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
30	5, 29	liminflelimsup 45805	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∩ cin 3925  ∅c0 4308   class class class wbr 5119   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  [,)cico 13364  lim supclsp 15486  lim infclsi 45780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-fl 13809  df-ceil 13810  df-limsup 15487  df-liminf 45781

This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  45817  liminflimsupclim  45836  xlimliminflimsup  45891