Theorem eluzelz2d 46097

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzelz2d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzelz2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2d	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		eluzelz2d.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eluzelz2 46087	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-neg 11443  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  uzred  46127  cvgcau  46174  limsupequzmpt2  46402  liminfequzmpt2  46475  xlimconst2  46519  iundjiunlem  47143  smflimsuplem1  47504  smflimsuplem4  47507  smflimsuplem8  47511  smfliminflem  47514