Theorem eluzelz2d 42567

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzelz2d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzelz2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2d	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		eluzelz2d.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eluzelz2 42557	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404

This theorem is referenced by:  uzred  42597  limsupequzmpt2  42877  liminfequzmpt2  42950  xlimconst2  42994  iundjiunlem  43615  smflimsuplem1  43968  smflimsuplem4  43971  smflimsuplem8  43975  smfliminflem  43978