Theorem eluzelz2d 45424

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzelz2d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzelz2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz2d	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		eluzelz2d.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eluzelz2 45414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  uzred  45454  cvgcau  45501  limsupequzmpt2  45733  liminfequzmpt2  45806  xlimconst2  45850  iundjiunlem  46474  smflimsuplem1  46835  smflimsuplem4  46838  smflimsuplem8  46842  smfliminflem  46845