Theorem wdomref 9566

Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomref	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7904	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2		f1oi 6871	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
3		f1ofo 6840	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋
5		fowdom 9565	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑋)
6	1, 4, 5	sylancl 586	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   I cid 5573   ↾ cres 5678  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542   ≼^* cwdom 9558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-wdom 9559

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10422  hsmexlem5  10424