Theorem wdomref 9188

Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomref	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7692	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2		f1oi 6698	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
3		f1ofo 6668	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋
5		fowdom 9187	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑋)
6	1, 4, 5	sylancl 589	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   class class class wbr 5053   I cid 5454   ↾ cres 5553  –onto→wfo 6378  –1-1-onto→wf1o 6379   ≼^* cwdom 9180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-wdom 9181

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10042  hsmexlem5  10044