MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomref 9504
Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomref (𝑋𝑉𝑋* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref
StepHypRef Expression
1 resiexg 7847 . 2 (𝑋𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2 f1oi 6819 . . 3 ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋
3 f1ofo 6788 . . 3 (( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋onto𝑋)
42, 3ax-mp 5 . 2 ( I ↾ 𝑋):𝑋onto𝑋
5 fowdom 9503 . 2 ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋onto𝑋) → 𝑋* 𝑋)
61, 4, 5sylancl 586 1 (𝑋𝑉𝑋* 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3443   class class class wbr 5103   I cid 5528  cres 5633  ontowfo 6491  1-1-ontowf1o 6492  * cwdom 9496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-wdom 9497
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10360  hsmexlem5  10362
  Copyright terms: Public domain W3C validator