Theorem wdomref 9593

Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomref	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7948	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2		f1oi 6886	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶1-1onto𝑋
3		f1ofo 6854	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋⟶1-1onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶onto𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶onto𝑋
5		fowdom 9592	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶onto𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑋)
6	1, 4, 5	sylancl 598	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   I cid 5549   ↾ cres 5657  ⟶ontowfo 6556  ⟶1-1ontowf1o 6557   ≼^* cwdom 9585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-wdom 9586

This theorem is used by:  hsmexlem3  10533  hsmexlem5  10535