Theorem wdomref 9517

Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomref	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7889	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2		f1oi 6841	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
3		f1ofo 6810	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋
5		fowdom 9516	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑋)
6	1, 4, 5	sylancl 595	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099   I cid 5539   ↾ cres 5647  –onto→wfo 6515  –1-1-onto→wf1o 6516   ≼^* cwdom 9509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-wdom 9510

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10382  hsmexlem5  10384