Theorem wdomref 9484

Description: Reflexivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomref	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Proof of Theorem wdomref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7859	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝑋) ∈ V)
2		f1oi 6812	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
3		f1ofo 6781	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋
5		fowdom 9483	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝑋) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑋)
6	1, 4, 5	sylancl 592	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ≼* 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   I cid 5519   ↾ cres 5627  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491   ≼^* cwdom 9476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-wdom 9477

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10348  hsmexlem5  10350