MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem3 10425
Description: Lemma for hsmex 10429. Clear 𝐼 hypothesis and extend previous result by dominance. Note that this could be substantially strengthened, e.g., using the weak Hartogs function, but all we need here is that there be *some* dominating ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem.f 𝐹 = OrdIso( E , 𝐡)
hsmexlem.g 𝐺 = OrdIso( E , βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐴 𝐡)
Assertion
Ref Expression
hsmexlem3 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ dom 𝐺 ∈ (harβ€˜π’« (𝐷 Γ— 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž   𝐢,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)

Proof of Theorem hsmexlem3
StepHypRef Expression
1 wdomref 9569 . . . . 5 (𝐢 ∈ On β†’ 𝐢 β‰Ό* 𝐢)
2 xpwdomg 9582 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 β‰Ό* 𝐢) β†’ (𝐴 Γ— 𝐢) β‰Ό* (𝐷 Γ— 𝐢))
31, 2sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐴 Γ— 𝐢) β‰Ό* (𝐷 Γ— 𝐢))
4 wdompwdom 9575 . . . 4 ((𝐴 Γ— 𝐢) β‰Ό* (𝐷 Γ— 𝐢) β†’ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) β‰Ό 𝒫 (𝐷 Γ— 𝐢))
5 harword 9560 . . . 4 (𝒫 (𝐴 Γ— 𝐢) β‰Ό 𝒫 (𝐷 Γ— 𝐢) β†’ (harβ€˜π’« (𝐴 Γ— 𝐢)) βŠ† (harβ€˜π’« (𝐷 Γ— 𝐢)))
63, 4, 53syl 18 . . 3 ((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (harβ€˜π’« (𝐴 Γ— 𝐢)) βŠ† (harβ€˜π’« (𝐷 Γ— 𝐢)))
76adantr 479 . 2 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ (harβ€˜π’« (𝐴 Γ— 𝐢)) βŠ† (harβ€˜π’« (𝐷 Γ— 𝐢)))
8 relwdom 9563 . . . . . 6 Rel β‰Ό*
98brrelex1i 5731 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό* 𝐷 β†’ 𝐴 ∈ V)
109adantr 479 . . . 4 ((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ V)
1110adantr 479 . . 3 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ V)
12 simplr 765 . . 3 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ On)
13 simpr 483 . . 3 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢))
14 hsmexlem.f . . . 4 𝐹 = OrdIso( E , 𝐡)
15 hsmexlem.g . . . 4 𝐺 = OrdIso( E , βˆͺ π‘Ž ∈ 𝐴 𝐡)
1614, 15hsmexlem2 10424 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐢 ∈ On ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ dom 𝐺 ∈ (harβ€˜π’« (𝐴 Γ— 𝐢)))
1711, 12, 13, 16syl3anc 1369 . 2 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ dom 𝐺 ∈ (harβ€˜π’« (𝐴 Γ— 𝐢)))
187, 17sseldd 3982 1 (((𝐴 β‰Ό* 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ 𝒫 On ∧ dom 𝐹 ∈ 𝐢)) β†’ dom 𝐺 ∈ (harβ€˜π’« (𝐷 Γ— 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   E cep 5578   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  Oncon0 6363  β€˜cfv 6542   β‰Ό cdom 8939  OrdIsocoi 9506  harchar 9553   β‰Ό* cwdom 9561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-smo 8348  df-recs 8373  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-oi 9507  df-har 9554  df-wdom 9562
This theorem is referenced by:  hsmexlem4  10426  hsmexlem5  10427
  Copyright terms: Public domain W3C validator