MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem5 10425
Description: Lemma for hsmex 10427. Combining the above constraints, along with itunitc 10416 and tcrank 9879, gives an effective constraint on the rank of 𝑆. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x 𝑋 ∈ V
hsmexlem4.h 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
hsmexlem4.u π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
hsmexlem4.s 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
hsmexlem4.o 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
Assertion
Ref Expression
hsmexlem5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑐,𝑑,𝐻   𝑆,𝑐,𝑑   π‘ˆ,𝑐,𝑑   π‘Ž,𝑏,𝑧,𝑋   π‘₯,π‘Ž,𝑦   𝑏,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑏)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem hsmexlem5
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.s . . . . . . . 8 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
21ssrab3 4081 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On)
32sseli 3979 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
4 tcrank 9879 . . . . . 6 (𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π‘‘) = (rank β€œ (TCβ€˜π‘‘)))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) = (rank β€œ (TCβ€˜π‘‘)))
6 hsmexlem4.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
76itunitc 10416 . . . . . . 7 (TCβ€˜π‘‘) = βˆͺ ran (π‘ˆβ€˜π‘‘)
86itunifn 10412 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‘) Fn Ο‰)
9 fniunfv 7246 . . . . . . . 8 ((π‘ˆβ€˜π‘‘) Fn Ο‰ β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘) = βˆͺ ran (π‘ˆβ€˜π‘‘))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘) = βˆͺ ran (π‘ˆβ€˜π‘‘))
117, 10eqtr4id 2792 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (TCβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))
1211imaeq2d 6060 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rank β€œ (TCβ€˜π‘‘)) = (rank β€œ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
13 imaiun 7244 . . . . . 6 (rank β€œ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) = βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rank β€œ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) = βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
155, 12, 143eqtrd 2777 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) = βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
16 dmresi 6052 . . . 4 dom ( I β†Ύ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) = βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))
1715, 16eqtr4di 2791 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) = dom ( I β†Ύ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))))
18 rankon 9790 . . . . . 6 (rankβ€˜π‘‘) ∈ On
1915, 18eqeltrrdi 2843 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ On)
20 eloni 6375 . . . . 5 (βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ On β†’ Ord βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
21 oiid 9536 . . . . 5 (Ord βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) β†’ OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))))
2219, 20, 213syl 18 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))))
2322dmeqd 5906 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ dom OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) = dom ( I β†Ύ βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))))
2417, 23eqtr4d 2776 . 2 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) = dom OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))))
25 omex 9638 . . . 4 Ο‰ ∈ V
26 wdomref 9567 . . . 4 (Ο‰ ∈ V β†’ Ο‰ β‰Ό* Ο‰)
2725, 26mp1i 13 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ Ο‰ β‰Ό* Ο‰)
28 frfnom 8435 . . . . . . 7 (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰
29 hsmexlem4.h . . . . . . . 8 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
3029fneq1i 6647 . . . . . . 7 (𝐻 Fn Ο‰ ↔ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰)
3128, 30mpbir 230 . . . . . 6 𝐻 Fn Ο‰
32 fniunfv 7246 . . . . . 6 (𝐻 Fn Ο‰ β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) = βˆͺ ran 𝐻)
3331, 32ax-mp 5 . . . . 5 βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) = βˆͺ ran 𝐻
34 iunon 8339 . . . . . . 7 ((Ο‰ ∈ V ∧ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On) β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
3525, 34mpan 689 . . . . . 6 (βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On β†’ βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
3629hsmexlem9 10420 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On)
3735, 36mprg 3068 . . . . 5 βˆͺ π‘Ž ∈ Ο‰ (π»β€˜π‘Ž) ∈ On
3833, 37eqeltrri 2831 . . . 4 βˆͺ ran 𝐻 ∈ On
3938a1i 11 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ ran 𝐻 ∈ On)
40 fvssunirn 6925 . . . . . 6 (π»β€˜π‘) βŠ† βˆͺ ran 𝐻
41 hsmexlem4.x . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
42 eqid 2733 . . . . . . . 8 OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
4341, 29, 6, 1, 42hsmexlem4 10424 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) β†’ dom OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ (π»β€˜π‘))
4443ancoms 460 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ Ο‰) β†’ dom OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ (π»β€˜π‘))
4540, 44sselid 3981 . . . . 5 ((𝑑 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ Ο‰) β†’ dom OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ βˆͺ ran 𝐻)
46 imassrn 6071 . . . . . . 7 (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) βŠ† ran rank
47 rankf 9789 . . . . . . . 8 rank:βˆͺ (𝑅1 β€œ On)⟢On
48 frn 6725 . . . . . . . 8 (rank:βˆͺ (𝑅1 β€œ On)⟢On β†’ ran rank βŠ† On)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . 7 ran rank βŠ† On
5046, 49sstri 3992 . . . . . 6 (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) βŠ† On
51 ffun 6721 . . . . . . . 8 (rank:βˆͺ (𝑅1 β€œ On)⟢On β†’ Fun rank)
52 fvex 6905 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ V
5352funimaex 6637 . . . . . . . 8 (Fun rank β†’ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ V)
5447, 51, 53mp2b 10 . . . . . . 7 (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ V
5554elpw 4607 . . . . . 6 ((rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ 𝒫 On ↔ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) βŠ† On)
5650, 55mpbir 230 . . . . 5 (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ 𝒫 On
5745, 56jctil 521 . . . 4 ((𝑑 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ Ο‰) β†’ ((rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ 𝒫 On ∧ dom OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ βˆͺ ran 𝐻))
5857ralrimiva 3147 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘ ∈ Ο‰ ((rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ 𝒫 On ∧ dom OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ βˆͺ ran 𝐻))
59 eqid 2733 . . . 4 OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) = OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
6042, 59hsmexlem3 10423 . . 3 (((Ο‰ β‰Ό* Ο‰ ∧ βˆͺ ran 𝐻 ∈ On) ∧ βˆ€π‘ ∈ Ο‰ ((rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)) ∈ 𝒫 On ∧ dom OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ βˆͺ ran 𝐻)) β†’ dom OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
6127, 39, 58, 60syl21anc 837 . 2 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ dom OrdIso( E , βˆͺ 𝑐 ∈ Ο‰ (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘))) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
6224, 61eqeltrd 2834 1 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   E cep 5580   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855  reccrdg 8409   β‰Ό cdom 8937  OrdIsocoi 9504  harchar 9551   β‰Ό* cwdom 9559  TCctc 9731  π‘…1cr1 9757  rankcrnk 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-smo 8346  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-oi 9505  df-har 9552  df-wdom 9560  df-tc 9732  df-r1 9759  df-rank 9760
This theorem is referenced by:  hsmexlem6  10426
  Copyright terms: Public domain W3C validator