MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oi 6645
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 6469 . 2 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2 cnvresid 6426 . . . 4 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
32fneq1i 6443 . . 3 (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
41, 3mpbir 232 . 2 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5 dff1o4 6616 . 2 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
61, 4, 5mpbir2an 707 1 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550   Fn wfn 6343  1-1-ontowf1o 6347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355
This theorem is referenced by:  f1ovi  6646  fveqf1o  7049  isoid  7071  enrefg  8529  ssdomg  8543  wdomref  9024  infxpenc  9432  pwfseqlem5  10073  fproddvdsd  15672  wunndx  16492  idfucl  17139  idffth  17191  ressffth  17196  setccatid  17332  estrccatid  17370  funcestrcsetclem7  17384  funcestrcsetclem8  17385  equivestrcsetc  17390  funcsetcestrclem7  17399  funcsetcestrclem8  17400  idmhm  17953  idghm  18311  idresperm  18448  symgid  18459  islinds2  20885  lindfres  20895  lindsmm  20900  mdetunilem9  21157  ssidcn  21791  resthauslem  21899  sshauslem  21908  idqtop  22242  fmid  22496  iducn  22819  mbfid  24163  dvid  24442  dvexp  24477  wilthlem2  25573  wilthlem3  25574  idmot  26250  ausgrusgrb  26877  upgrres1  27022  umgrres1  27023  usgrres1  27024  usgrexilem  27149  sizusglecusglem1  27170  pliguhgr  28190  hoif  29458  idunop  29682  idcnop  29685  elunop2  29717  fcobijfs  30385  symgcom  30654  pmtridf1o  30663  cycpmfvlem  30681  cycpmfv3  30684  cycpmcl  30685  islinds5  30859  ellspds  30860  qqhre  31160  rrhre  31161  subfacp1lem4  32327  subfacp1lem5  32328  poimirlem15  34788  poimirlem22  34795  idlaut  37112  tendoidcl  37785  tendo0co2  37804  erng1r  38011  dvalveclem  38041  dva0g  38043  dvh0g  38127  mzpresrename  39225  eldioph2lem1  39235  eldioph2lem2  39236  diophren  39288  kelac2  39543  lnrfg  39597  fundcmpsurbijinjpreimafv  43444  fundcmpsurinjimaid  43448  isomgreqve  43867  ushrisomgr  43883  uspgrsprfo  43900  idmgmhm  43932  ielefmnd  43984  sursubmefmnd  43993  injsubmefmnd  43994  funcringcsetcALTV2lem8  44242  funcringcsetclem8ALTV  44265
  Copyright terms: Public domain W3C validator