Theorem f1oi 6428

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6254	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2		cnvresid 6213	. . . 4 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3	2	fneq1i 6230	. . 3 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
4	1, 3	mpbir 223	. 2 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5		dff1o4 6399	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
6	1, 4, 5	mpbir2an 701	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:   I cid 5260  ^◡ccnv 5354   ↾ cres 5357   Fn wfn 6130  –1-1-onto→wf1o 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142

This theorem is referenced by:  f1ovi  6429  fveqf1o  6829  isoid  6851  enrefg  8273  ssdomg  8287  wdomref  8766  infxpenc  9174  pwfseqlem5  9820  fproddvdsd  15463  wunndx  16276  idfucl  16926  idffth  16978  ressffth  16983  setccatid  17119  estrccatid  17157  funcestrcsetclem7  17172  funcestrcsetclem8  17173  equivestrcsetc  17178  funcsetcestrclem7  17187  funcsetcestrclem8  17188  idmhm  17730  idghm  18059  symggrp  18203  symgid  18204  idresperm  18212  islinds2  20556  lindfres  20566  lindsmm  20571  mdetunilem9  20831  ssidcn  21467  resthauslem  21575  sshauslem  21584  idqtop  21918  fmid  22172  iducn  22495  mbfid  23839  dvid  24118  dvexp  24153  wilthlem2  25247  wilthlem3  25248  idmot  25888  ausgrusgrb  26514  upgrres1  26660  umgrres1  26661  usgrres1  26662  usgrexilem  26788  sizusglecusglem1  26809  pliguhgr  27913  hoif  29185  idunop  29409  idcnop  29412  elunop2  29444  fcobijfs  30067  islinds5  30414  ellspds  30415  pmtridf1o  30454  qqhre  30662  rrhre  30663  subfacp1lem4  31764  subfacp1lem5  31765  poimirlem15  34050  poimirlem22  34057  idlaut  36250  tendoidcl  36923  tendo0co2  36942  erng1r  37149  dvalveclem  37179  dva0g  37181  dvh0g  37265  mzpresrename  38273  eldioph2lem1  38283  eldioph2lem2  38284  diophren  38337  kelac2  38594  lnrfg  38648  isomgreqve  42738  ushrisomgr  42754  uspgrsprfo  42771  idmgmhm  42803  funcringcsetcALTV2lem8  43058  funcringcsetclem8ALTV  43081