Theorem f1oi 6900

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6709	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2		cnvresid 6657	. . . 4 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3	2	fneq1i 6676	. . 3 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
4	1, 3	mpbir 231	. 2 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5		dff1o4 6870	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
6	1, 4, 5	mpbir2an 710	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:   I cid 5592  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  –1-1-onto→wf1o 6572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580

This theorem is referenced by:  f1ovi  6901  fveqf1o  7338  f1ofvswap  7342  isoid  7365  enrefg  9044  ssdomg  9060  enreffi  9249  ssdomfi  9262  ssdomfi2  9263  wdomref  9641  infxpenc  10087  pwfseqlem5  10732  fproddvdsd  16383  wunndx  17242  idfucl  17945  idffth  18000  ressffth  18005  setccatid  18151  estrccatid  18200  funcestrcsetclem7  18215  funcestrcsetclem8  18216  equivestrcsetc  18221  funcsetcestrclem7  18230  funcsetcestrclem8  18231  idmgmhm  18739  idmhm  18830  ielefmnd  18922  sursubmefmnd  18931  injsubmefmnd  18932  idghm  19271  idresperm  19427  islinds2  21856  lindfres  21866  lindsmm  21871  mdetunilem9  22647  ssidcn  23284  resthauslem  23392  sshauslem  23401  idqtop  23735  fmid  23989  iducn  24313  mbfid  25689  dvid  25973  dvexp  26011  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  idmot  28563  ausgrusgrb  29200  upgrres1  29348  umgrres1  29349  usgrres1  29350  usgrexilem  29475  sizusglecusglem1  29497  pliguhgr  30518  hoif  31786  idunop  32010  idcnop  32013  elunop2  32045  fcobijfs  32737  symgcom  33076  fzo0pmtrlast  33085  pmtridf1o  33087  cycpmfvlem  33105  cycpmfv3  33108  cycpmcl  33109  islinds5  33360  ellspds  33361  qqhre  33966  rrhre  33967  subfacp1lem4  35151  subfacp1lem5  35152  poimirlem15  37595  poimirlem22  37602  idlaut  40053  tendoidcl  40726  tendo0co2  40745  erng1r  40952  dvalveclem  40982  dva0g  40984  dvh0g  41068  mzpresrename  42706  eldioph2lem1  42716  eldioph2lem2  42717  diophren  42769  kelac2  43022  lnrfg  43076  fundcmpsurbijinjpreimafv  47281  fundcmpsurinjimaid  47285  grimidvtxedg  47760  ushggricedg  47780  grlicref  47829  uspgrsprfo  47871  funcringcsetcALTV2lem8  48020  funcringcsetclem8ALTV  48043  itcovalendof  48403