Theorem f1oi 6812

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) Avoid ax-12 2184. (Revised by TM, 10-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6621	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2		funi 6524	. . . 4 ⊢ Fun I
3		cnvi 6099	. . . . 5 ⊢ ◡ I = I
4	3	funeqi 6513	. . . 4 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
5	2, 4	mpbir 231	. . 3 ⊢ Fun ◡ I
6		funres11 6569	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
8		rnresi 6034	. 2 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
9		dff1o2 6779	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴) ∧ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴))
10	1, 7, 8, 9	mpbir3an 1342	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   I cid 5518  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  –1-1-onto→wf1o 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499

This theorem is referenced by:  f1ovi  6814  fveqf1o  7248  f1ofvswap  7252  isoid  7275  enrefg  8921  ssdomg  8937  enreffi  9107  ssdomfi  9120  ssdomfi2  9121  wdomref  9477  infxpenc  9928  pwfseqlem5  10574  fproddvdsd  16262  wunndx  17122  idfucl  17805  idffth  17859  ressffth  17864  setccatid  18008  estrccatid  18055  funcestrcsetclem7  18069  funcestrcsetclem8  18070  equivestrcsetc  18075  funcsetcestrclem7  18084  funcsetcestrclem8  18085  idmgmhm  18626  idmhm  18720  ielefmnd  18812  sursubmefmnd  18821  injsubmefmnd  18822  idghm  19160  idresperm  19315  islinds2  21768  lindfres  21778  lindsmm  21783  mdetunilem9  22564  ssidcn  23199  resthauslem  23307  sshauslem  23316  idqtop  23650  fmid  23904  iducn  24226  mbfid  25592  dvid  25875  dvexp  25913  wilthlem2  27035  wilthlem3  27036  idmot  28609  ausgrusgrb  29238  upgrres1  29386  umgrres1  29387  usgrres1  29388  usgrexilem  29513  sizusglecusglem1  29535  pliguhgr  30561  hoif  31829  idunop  32053  idcnop  32056  elunop2  32088  fcobijfs  32800  fcobijfs2  32801  symgcom  33165  fzo0pmtrlast  33174  pmtridf1o  33176  cycpmfvlem  33194  cycpmfv3  33197  cycpmcl  33198  islinds5  33448  ellspds  33449  qqhre  34177  rrhre  34178  subfacp1lem4  35377  subfacp1lem5  35378  poimirlem15  37836  poimirlem22  37843  idlaut  40356  tendoidcl  41029  tendo0co2  41048  erng1r  41255  dvalveclem  41285  dva0g  41287  dvh0g  41371  mzpresrename  42992  eldioph2lem1  43002  eldioph2lem2  43003  diophren  43055  kelac2  43307  lnrfg  43361  fundcmpsurbijinjpreimafv  47653  fundcmpsurinjimaid  47657  grimidvtxedg  48131  ushggricedg  48173  stgrusgra  48205  grlicref  48258  gpgusgra  48303  gpg5grlim  48339  uspgrsprfo  48394  funcringcsetcALTV2lem8  48543  funcringcsetclem8ALTV  48566  itcovalendof  48915  tposidf1o  49132  idfu1stf1o  49344  imaidfu  49355  idfth  49403  idsubc  49405  fucoppc  49655  oduoppcciso  49811