Theorem f1oi 6872

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6680	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2		cnvresid 6628	. . . 4 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3	2	fneq1i 6647	. . 3 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
4	1, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5		dff1o4 6842	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
6	1, 4, 5	mpbir2an 707	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:   I cid 5574  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679   Fn wfn 6539  –1-1-onto→wf1o 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551

This theorem is referenced by:  f1ovi  6873  fveqf1o  7305  f1ofvswap  7308  isoid  7330  enrefg  8984  ssdomg  9000  enreffi  9190  ssdomfi  9203  ssdomfi2  9204  wdomref  9571  infxpenc  10017  pwfseqlem5  10662  fproddvdsd  16284  wunndx  17134  idfucl  17837  idffth  17890  ressffth  17895  setccatid  18040  estrccatid  18089  funcestrcsetclem7  18104  funcestrcsetclem8  18105  equivestrcsetc  18110  funcsetcestrclem7  18119  funcsetcestrclem8  18120  idmgmhm  18628  idmhm  18719  ielefmnd  18806  sursubmefmnd  18815  injsubmefmnd  18816  idghm  19147  idresperm  19296  islinds2  21589  lindfres  21599  lindsmm  21604  mdetunilem9  22344  ssidcn  22981  resthauslem  23089  sshauslem  23098  idqtop  23432  fmid  23686  iducn  24010  mbfid  25386  dvid  25669  dvexp  25704  wilthlem2  26807  wilthlem3  26808  idmot  28053  ausgrusgrb  28690  upgrres1  28835  umgrres1  28836  usgrres1  28837  usgrexilem  28962  sizusglecusglem1  28983  pliguhgr  30004  hoif  31272  idunop  31496  idcnop  31499  elunop2  31531  fcobijfs  32213  symgcom  32512  pmtridf1o  32521  cycpmfvlem  32539  cycpmfv3  32542  cycpmcl  32543  islinds5  32752  ellspds  32753  qqhre  33296  rrhre  33297  subfacp1lem4  34470  subfacp1lem5  34471  poimirlem15  36808  poimirlem22  36815  idlaut  39272  tendoidcl  39945  tendo0co2  39964  erng1r  40171  dvalveclem  40201  dva0g  40203  dvh0g  40287  mzpresrename  41792  eldioph2lem1  41802  eldioph2lem2  41803  diophren  41855  kelac2  42111  lnrfg  42165  fundcmpsurbijinjpreimafv  46375  fundcmpsurinjimaid  46379  isomgreqve  46793  ushrisomgr  46809  uspgrsprfo  46826  funcringcsetcALTV2lem8  47031  funcringcsetclem8ALTV  47054  itcovalendof  47444