Theorem f1oi 6627

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6448	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2		cnvresid 6403	. . . 4 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3	2	fneq1i 6420	. . 3 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
4	1, 3	mpbir 234	. 2 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5		dff1o4 6598	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
6	1, 4, 5	mpbir2an 710	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:   I cid 5424  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   Fn wfn 6319  –1-1-onto→wf1o 6323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331

This theorem is referenced by:  f1ovi  6628  fveqf1o  7037  isoid  7061  enrefg  8524  ssdomg  8538  wdomref  9020  infxpenc  9429  pwfseqlem5  10074  fproddvdsd  15676  wunndx  16496  idfucl  17143  idffth  17195  ressffth  17200  setccatid  17336  estrccatid  17374  funcestrcsetclem7  17388  funcestrcsetclem8  17389  equivestrcsetc  17394  funcsetcestrclem7  17403  funcsetcestrclem8  17404  idmhm  17957  ielefmnd  18044  sursubmefmnd  18053  injsubmefmnd  18054  idghm  18365  idresperm  18506  islinds2  20502  lindfres  20512  lindsmm  20517  mdetunilem9  21225  ssidcn  21860  resthauslem  21968  sshauslem  21977  idqtop  22311  fmid  22565  iducn  22889  mbfid  24239  dvid  24521  dvexp  24556  wilthlem2  25654  wilthlem3  25655  idmot  26331  ausgrusgrb  26958  upgrres1  27103  umgrres1  27104  usgrres1  27105  usgrexilem  27230  sizusglecusglem1  27251  pliguhgr  28269  hoif  29537  idunop  29761  idcnop  29764  elunop2  29796  fcobijfs  30485  symgcom  30777  pmtridf1o  30786  cycpmfvlem  30804  cycpmfv3  30807  cycpmcl  30808  islinds5  30983  ellspds  30984  qqhre  31371  rrhre  31372  subfacp1lem4  32543  subfacp1lem5  32544  poimirlem15  35072  poimirlem22  35079  idlaut  37392  tendoidcl  38065  tendo0co2  38084  erng1r  38291  dvalveclem  38321  dva0g  38323  dvh0g  38407  mzpresrename  39691  eldioph2lem1  39701  eldioph2lem2  39702  diophren  39754  kelac2  40009  lnrfg  40063  fundcmpsurbijinjpreimafv  43924  fundcmpsurinjimaid  43928  isomgreqve  44343  ushrisomgr  44359  uspgrsprfo  44376  idmgmhm  44408  funcringcsetcALTV2lem8  44667  funcringcsetclem8ALTV  44690  itcovalendof  45083