Theorem xrnidresex 38388

Description: Sufficient condition for a range Cartesian product with restricted identity to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xrnidresex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ ( I ↾ 𝐴)) ∈ V)

Proof of Theorem xrnidresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
3		xrnresex 38387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ V) → (𝑅 ⋉ ( I ↾ 𝐴)) ∈ V)
4	2, 3	mpd3an3 1464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ ( I ↾ 𝐴)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   I cid 5525   ↾ cres 5633   ⋉ cxrn 38163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-xrn 38348

This theorem is referenced by: (None)