NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  csucex GIF version

Theorem csucex 6259
Description: The function mapping x to its cardinal successor exists. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
csucex (x V (x +c 1c)) V

Proof of Theorem csucex
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brcnv 4892 . . . . . . . . . 10 (y1st ww1st y)
2 vex 2862 . . . . . . . . . . 11 y V
32br1st 4858 . . . . . . . . . 10 (w1st yx w = y, x)
41, 3bitri 240 . . . . . . . . 9 (y1st wx w = y, x)
54anbi1i 676 . . . . . . . 8 ((y1st w w( AddC (V × {1c}))z) ↔ (x w = y, x w( AddC (V × {1c}))z))
6 19.41v 1901 . . . . . . . 8 (x(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z) ↔ (x w = y, x w( AddC (V × {1c}))z))
75, 6bitr4i 243 . . . . . . 7 ((y1st w w( AddC (V × {1c}))z) ↔ x(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z))
87exbii 1582 . . . . . 6 (w(y1st w w( AddC (V × {1c}))z) ↔ wx(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z))
9 excom 1741 . . . . . . 7 (wx(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z) ↔ xw(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z))
10 vex 2862 . . . . . . . . . 10 x V
112, 10opex 4588 . . . . . . . . 9 y, x V
12 breq1 4642 . . . . . . . . . 10 (w = y, x → (w( AddC (V × {1c}))zy, x( AddC (V × {1c}))z))
13 brres 4949 . . . . . . . . . . 11 (y, x( AddC (V × {1c}))z ↔ (y, x AddC z y, x (V × {1c})))
142, 10braddcfn 5826 . . . . . . . . . . . 12 (y, x AddC z ↔ (y +c x) = z)
15 opelxp 4811 . . . . . . . . . . . . . 14 (y, x (V × {1c}) ↔ (y V x {1c}))
162, 15mpbiran 884 . . . . . . . . . . . . 13 (y, x (V × {1c}) ↔ x {1c})
17 elsn 3748 . . . . . . . . . . . . 13 (x {1c} ↔ x = 1c)
1816, 17bitri 240 . . . . . . . . . . . 12 (y, x (V × {1c}) ↔ x = 1c)
1914, 18anbi12ci 679 . . . . . . . . . . 11 ((y, x AddC z y, x (V × {1c})) ↔ (x = 1c (y +c x) = z))
2013, 19bitri 240 . . . . . . . . . 10 (y, x( AddC (V × {1c}))z ↔ (x = 1c (y +c x) = z))
2112, 20syl6bb 252 . . . . . . . . 9 (w = y, x → (w( AddC (V × {1c}))z ↔ (x = 1c (y +c x) = z)))
2211, 21ceqsexv 2894 . . . . . . . 8 (w(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z) ↔ (x = 1c (y +c x) = z))
2322exbii 1582 . . . . . . 7 (xw(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z) ↔ x(x = 1c (y +c x) = z))
249, 23bitri 240 . . . . . 6 (wx(w = y, x w( AddC (V × {1c}))z) ↔ x(x = 1c (y +c x) = z))
258, 24bitri 240 . . . . 5 (w(y1st w w( AddC (V × {1c}))z) ↔ x(x = 1c (y +c x) = z))
26 1cex 4142 . . . . . 6 1c V
27 addceq2 4384 . . . . . . 7 (x = 1c → (y +c x) = (y +c 1c))
2827eqeq1d 2361 . . . . . 6 (x = 1c → ((y +c x) = z ↔ (y +c 1c) = z))
2926, 28ceqsexv 2894 . . . . 5 (x(x = 1c (y +c x) = z) ↔ (y +c 1c) = z)
3025, 29bitri 240 . . . 4 (w(y1st w w( AddC (V × {1c}))z) ↔ (y +c 1c) = z)
31 opelco 4884 . . . 4 (y, z (( AddC (V × {1c})) 1st ) ↔ w(y1st w w( AddC (V × {1c}))z))
32 mptv 5718 . . . . . 6 (x V (x +c 1c)) = {x, w w = (x +c 1c)}
3332eleq2i 2417 . . . . 5 (y, z (x V (x +c 1c)) ↔ y, z {x, w w = (x +c 1c)})
34 vex 2862 . . . . . 6 z V
35 addceq1 4383 . . . . . . 7 (x = y → (x +c 1c) = (y +c 1c))
3635eqeq2d 2364 . . . . . 6 (x = y → (w = (x +c 1c) ↔ w = (y +c 1c)))
37 eqeq1 2359 . . . . . . 7 (w = z → (w = (y +c 1c) ↔ z = (y +c 1c)))
38 eqcom 2355 . . . . . . 7 (z = (y +c 1c) ↔ (y +c 1c) = z)
3937, 38syl6bb 252 . . . . . 6 (w = z → (w = (y +c 1c) ↔ (y +c 1c) = z))
402, 34, 36, 39opelopab 4708 . . . . 5 (y, z {x, w w = (x +c 1c)} ↔ (y +c 1c) = z)
4133, 40bitri 240 . . . 4 (y, z (x V (x +c 1c)) ↔ (y +c 1c) = z)
4230, 31, 413bitr4ri 269 . . 3 (y, z (x V (x +c 1c)) ↔ y, z (( AddC (V × {1c})) 1st ))
4342eqrelriv 4850 . 2 (x V (x +c 1c)) = (( AddC (V × {1c})) 1st )
44 addcfnex 5824 . . . 4 AddC V
45 vvex 4109 . . . . 5 V V
46 snex 4111 . . . . 5 {1c} V
4745, 46xpex 5115 . . . 4 (V × {1c}) V
4844, 47resex 5117 . . 3 ( AddC (V × {1c})) V
49 1stex 4739 . . . 4 1st V
5049cnvex 5102 . . 3 1st V
5148, 50coex 4750 . 2 (( AddC (V × {1c})) 1st ) V
5243, 51eqeltri 2423 1 (x V (x +c 1c)) V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wa 358  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  Vcvv 2859  {csn 3737  1cc1c 4134   +c cplc 4375  cop 4561  {copab 4622   class class class wbr 4639  1st c1st 4717   ccom 4721   × cxp 4770  ccnv 4771   cres 4774   cmpt 5651   AddC caddcfn 5745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-ins4 5756  df-si3 5758
This theorem is referenced by:  nnltp1clem1  6261  frecexg  6312  frecxp  6314  dmfrec  6316  fnfreclem2  6318  fnfreclem3  6319  frec0  6321  frecsuc  6322
  Copyright terms: Public domain W3C validator