Theorem dfres2 5002

Description: Alternate definition of the restriction operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfres2	⊢ (R ↾ A) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,R,y

Proof of Theorem dfres2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2862	. . . 4 ⊢ z ∈ V
2		vex 2862	. . . 4 ⊢ w ∈ V
3		eleq1 2413	. . . . 5 ⊢ (x = z → (x ∈ A ↔ z ∈ A))
4		breq1 4642	. . . . 5 ⊢ (x = z → (xRy ↔ zRy))
5	3, 4	anbi12d 691	. . . 4 ⊢ (x = z → ((x ∈ A ∧ xRy) ↔ (z ∈ A ∧ zRy)))
6		breq2 4643	. . . . 5 ⊢ (y = w → (zRy ↔ zRw))
7	6	anbi2d 684	. . . 4 ⊢ (y = w → ((z ∈ A ∧ zRy) ↔ (z ∈ A ∧ zRw)))
8	1, 2, 5, 7	opelopab 4708	. . 3 ⊢ (⟨z, w⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)} ↔ (z ∈ A ∧ zRw))
9		brres 4949	. . . 4 ⊢ (z(R ↾ A)w ↔ (zRw ∧ z ∈ A))
10		ancom 437	. . . 4 ⊢ ((zRw ∧ z ∈ A) ↔ (z ∈ A ∧ zRw))
11	9, 10	bitri 240	. . 3 ⊢ (z(R ↾ A)w ↔ (z ∈ A ∧ zRw))
12		df-br 4640	. . 3 ⊢ (z(R ↾ A)w ↔ ⟨z, w⟩ ∈ (R ↾ A))
13	8, 11, 12	3bitr2ri 265	. 2 ⊢ (⟨z, w⟩ ∈ (R ↾ A) ↔ ⟨z, w⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)})
14	13	eqrelriv 4850	1 ⊢ (R ↾ A) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)}

Syntax hints:   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4561  {copab 4622   class class class wbr 4639   ↾ cres 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-xp 4784  df-res 4788

This theorem is referenced by: (None)