Theorem dfres2 5003

Description: Alternate definition of the restriction operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfres2	⊢ (R ↾ A) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,R,y

Proof of Theorem dfres2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . 4 ⊢ z ∈ V
2		vex 2863	. . . 4 ⊢ w ∈ V
3		eleq1 2413	. . . . 5 ⊢ (x = z → (x ∈ A ↔ z ∈ A))
4		breq1 4643	. . . . 5 ⊢ (x = z → (xRy ↔ zRy))
5	3, 4	anbi12d 691	. . . 4 ⊢ (x = z → ((x ∈ A ∧ xRy) ↔ (z ∈ A ∧ zRy)))
6		breq2 4644	. . . . 5 ⊢ (y = w → (zRy ↔ zRw))
7	6	anbi2d 684	. . . 4 ⊢ (y = w → ((z ∈ A ∧ zRy) ↔ (z ∈ A ∧ zRw)))
8	1, 2, 5, 7	opelopab 4709	. . 3 ⊢ (⟨z, w⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)} ↔ (z ∈ A ∧ zRw))
9		brres 4950	. . . 4 ⊢ (z(R ↾ A)w ↔ (zRw ∧ z ∈ A))
10		ancom 437	. . . 4 ⊢ ((zRw ∧ z ∈ A) ↔ (z ∈ A ∧ zRw))
11	9, 10	bitri 240	. . 3 ⊢ (z(R ↾ A)w ↔ (z ∈ A ∧ zRw))
12		df-br 4641	. . 3 ⊢ (z(R ↾ A)w ↔ ⟨z, w⟩ ∈ (R ↾ A))
13	8, 11, 12	3bitr2ri 265	. 2 ⊢ (⟨z, w⟩ ∈ (R ↾ A) ↔ ⟨z, w⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)})
14	13	eqrelriv 4851	1 ⊢ (R ↾ A) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ xRy)}

Syntax hints:   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562  {copab 4623   class class class wbr 4640   ↾ cres 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-xp 4785  df-res 4789

This theorem is referenced by: (None)