Theorem snfi 4431

Description: A singleton is finite. (Contributed by SF, 23-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
snfi	⊢ {A} ∈ Fin

Proof of Theorem snfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnnc 4408	. . . 4 ⊢ 1c ∈ Nn
2		snel1cg 4141	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → {A} ∈ 1c)
3		eleq2 2414	. . . . 5 ⊢ (x = 1c → ({A} ∈ x ↔ {A} ∈ 1c))
4	3	rspcev 2955	. . . 4 ⊢ ((1c ∈ Nn ∧ {A} ∈ 1c) → ∃x ∈ Nn {A} ∈ x)
5	1, 2, 4	sylancr 644	. . 3 ⊢ (A ∈ V → ∃x ∈ Nn {A} ∈ x)
6		elfin 4420	. . 3 ⊢ ({A} ∈ Fin ↔ ∃x ∈ Nn {A} ∈ x)
7	5, 6	sylibr 203	. 2 ⊢ (A ∈ V → {A} ∈ Fin )
8		snprc 3788	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V ↔ {A} = ∅)
9		0fin 4423	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
10		eleq1 2413	. . . 4 ⊢ ({A} = ∅ → ({A} ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin ))
11	9, 10	mpbiri 224	. . 3 ⊢ ({A} = ∅ → {A} ∈ Fin )
12	8, 11	sylbi 187	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → {A} ∈ Fin )
13	7, 12	pm2.61i 156	1 ⊢ {A} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  Vcvv 2859  ∅c0 3550  {csn 3737  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380

This theorem is referenced by:  nchoicelem19  6307