MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem2 25204
Description: Lemma for chebbnd1 25206: Show that log(𝑁) / 𝑁 does not change too much between 𝑁 and 𝑀 = ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 11875 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2 4nn 11225 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
3 4z 11449 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
43a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
6 rehalfcl 11296 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
87flcld 12639 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
95, 8syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 4t2e8 11219 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
11 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
1210, 11syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
13 4re 11135 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
15 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
20 lemuldiv 10941 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
2212, 21mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
23 flge 12646 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
247, 3, 23sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
2522, 24mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
2625, 5syl6breqr 4727 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
27 eluz2 11731 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1265 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
29 eluznn 11796 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
302, 28, 29sylancr 696 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3130nnrpd 11908 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
32 rpmulcl 11893 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
331, 31, 32sylancr 696 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
3433relogcld 24414 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
3534, 33rerpdivcld 11941 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
36 0red 10079 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
37 8re 11143 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
39 8pos 11159 . . . . . . . 8 0 < 8
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 10235 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4215, 41elrpd 11907 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 11922 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
4443relogcld 24414 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
4544, 43rerpdivcld 11941 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
4642relogcld 24414 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4746, 42rerpdivcld 11941 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
48 remulcl 10059 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
4916, 47, 48sylancr 696 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
509zred 11520 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
51 peano2re 10247 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
53 remulcl 10059 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
5416, 50, 53sylancr 696 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
55 flltp1 12641 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
567, 55syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
575oveq1i 6700 . . . . 5 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1)
5856, 57syl6breqr 4727 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (𝑀 + 1))
59 1red 10093 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
6030nnge1d 11101 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
6159, 50, 50, 60leadd2dd 10680 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑀 + 𝑀))
6250recnd 10106 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
63622timesd 11313 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
6461, 63breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (2 · 𝑀))
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 10235 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (2 · 𝑀))
66 ere 14863 . . . . . 6 e ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
68 egt2lt3 14978 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
6968simpri 477 . . . . . . . 8 e < 3
70 3lt4 11235 . . . . . . . 8 3 < 4
71 3re 11132 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
7266, 71, 13lttri 10201 . . . . . . . 8 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
7369, 70, 72mp2an 708 . . . . . . 7 e < 4
7473a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 10235 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (𝑁 / 2))
7667, 7, 75ltled 10223 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (𝑁 / 2))
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 10236 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (2 · 𝑀))
7867, 54, 77ltled 10223 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (2 · 𝑀))
79 logdivlt 24412 . . . 4 ((((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑁 / 2)) ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ e ≤ (2 · 𝑀))) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 1367 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
8165, 80mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82 rphalflt 11898 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 2) < 𝑁)
8342, 82syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < 𝑁)
84 logltb 24391 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
8543, 42, 84syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
8683, 85mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁))
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 11967 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)))
8846recnd 10106 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8915recnd 10106 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
9017recnd 10106 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
9142rpne0d 11915 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
92 2ne0 11151 . . . . . 6 2 ≠ 0
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 10871 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁))
9588, 90mulcomd 10099 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) · 2) = (2 · (log‘𝑁)))
9695oveq1d 6705 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁) = ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁))
9790, 88, 89, 91divassd 10874 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
9894, 96, 973eqtrd 2689 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
9987, 98breqtrd 4711 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 10236 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  8c8 11114  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  cfl 12631  eceu 14837  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  25205
  Copyright terms: Public domain W3C validator