Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlingr 40625
 Description: Stirling's approximation formula for 𝑛 factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 40624 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable 𝑅 is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlingr.2 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
Assertion
Ref Expression
stirlingr (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
21stirling 40624 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1
3 stirlingr.2 . . . 4 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
4 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
5 1zzd 11446 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
6 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))
7 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 faccl 13110 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
9 nnre 11065 . . . . . . . 8 ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
11 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
13 pire 24255 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ)
16 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
1715, 16remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℝ)
18 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
20 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 2)
2219, 12, 21ltled 10223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
23 pipos 24257 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
2418, 13, 23ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ π
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ π)
2612, 14, 22, 25mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · π))
277nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑛)
2815, 16, 26, 27mulge0d 10642 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((2 · π) · 𝑛))
2917, 28resqrtcld 14200 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℝ)
30 ere 14863 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ)
32 epos 14979 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < e
3318, 32gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
3516, 31, 34redivcld 10891 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ)
3635, 7reexpcld 13065 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ)
381fvmpt2 6330 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
397, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
40 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
42 pirp 24258 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℝ+)
4441, 43rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℝ+)
45 nnrp 11880 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
4644, 45rpmulcld 11926 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℝ+)
4746rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℝ+)
48 epr 14980 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
5045, 49rpdivcld 11927 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
51 nnz 11437 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
5250, 51rpexpcld 13072 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
5347, 52rpmulcld 11926 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
5439, 53eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑆𝑛) ∈ ℝ+)
5510, 54rerpdivcld 11941 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) ∈ ℝ)
566, 55fmpti 6423 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))):ℕ⟶ℝ
5756a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))):ℕ⟶ℝ)
583, 4, 5, 57climreeq 40163 . . 3 (⊤ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1))
5958trud 1533 . 2 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
602, 59mpbir 221 1 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)))𝑅1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  ↑cexp 12900  !cfa 13100  √csqrt 14017   ⇝ cli 14259  eceu 14837  πcpi 14841  topGenctg 16145  ⇝𝑡clm 21078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator