Theorem 1qec 7350

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7313	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
2		1pi 7277	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3		mulcanenqec 7348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
5		mulidpi 7280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
6	5, 5	jca 304	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴))
7		opeq12 3767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
8		eceq1 6548	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩ → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨1o, 1o⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2215	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586  (class class class)co 5853  1_oc1o 6388  [cec 6511  Ncnpi 7234   ·_N cmi 7236   ~_Q ceq 7241  1_Qc1q 7243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq 7309  df-1nqqs 7313

This theorem is referenced by:  recexnq  7352