Theorem 1qec 7755

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7718	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
2		1pi 7682	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3		mulcanenqec 7753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
5		mulidpi 7685	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
6	5, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴))
7		opeq12 3906	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
8		eceq1 6842	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩ → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨1o, 1o⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2283	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  [cec 6805  Ncnpi 7639   ·_N cmi 7641   ~_Q ceq 7646  1_Qc1q 7648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-ni 7671  df-mi 7673  df-enq 7714  df-1nqqs 7718

This theorem is used by:  recexnq  7757