Theorem 1qec 7745

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7708	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
2		1pi 7672	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3		mulcanenqec 7743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
5		mulidpi 7675	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
6	5, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴))
7		opeq12 3901	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
8		eceq1 6832	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩ → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨1o, 1o⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2283	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3708  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670  [cec 6795  Ncnpi 7629   ·_N cmi 7631   ~_Q ceq 7636  1_Qc1q 7638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-ni 7661  df-mi 7663  df-enq 7704  df-1nqqs 7708

This theorem is referenced by:  recexnq  7747