Theorem 1qec 7455

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7418	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
2		1pi 7382	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
3		mulcanenqec 7453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1340	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
5		mulidpi 7385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
6	5, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴))
7		opeq12 3810	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
8		eceq1 6627	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩ → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨1o, 1o⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2241	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625  (class class class)co 5922  1_oc1o 6467  [cec 6590  Ncnpi 7339   ·_N cmi 7341   ~_Q ceq 7346  1_Qc1q 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq 7414  df-1nqqs 7418

This theorem is referenced by:  recexnq  7457