ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1qec GIF version

Theorem 1qec 7208
Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1qec (𝐴N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )

Proof of Theorem 1qec
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 7171 . 2 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
2 1pi 7135 . . . 4 1oN
3 mulcanenqec 7206 . . . 4 ((𝐴N ∧ 1oN ∧ 1oN) → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
42, 2, 3mp3an23 1307 . . 3 (𝐴N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
5 mulidpi 7138 . . . . 5 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
65, 5jca 304 . . . 4 (𝐴N → ((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴))
7 opeq12 3707 . . . 4 (((𝐴 ·N 1o) = 𝐴 ∧ (𝐴 ·N 1o) = 𝐴) → ⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩)
8 eceq1 6464 . . . 4 (⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩ = ⟨𝐴, 𝐴⟩ → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
96, 7, 83syl 17 . . 3 (𝐴N → [⟨(𝐴 ·N 1o), (𝐴 ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
104, 9eqtr3d 2174 . 2 (𝐴N → [⟨1o, 1o⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
111, 10syl5eq 2184 1 (𝐴N → 1Q = [⟨𝐴, 𝐴⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  [cec 6427  Ncnpi 7092   ·N cmi 7094   ~Q ceq 7099  1Qc1q 7101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-ni 7124  df-mi 7126  df-enq 7167  df-1nqqs 7171
This theorem is referenced by:  recexnq  7210
  Copyright terms: Public domain W3C validator