Theorem 2idlbas 14014

Description: The base set of a two-sided ideal as structure. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlbas.j	|- J = ( R ↾s I )
2idlbas.b	|- B = ( Base ` J )

Assertion

Ref	Expression
2idlbas	|- ( ph -> B = I )

Proof of Theorem 2idlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.b	. 2 |- B = ( Base ` J )
2		2idlbas.j	. . . 4 |- J = ( R ↾s I )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> J = ( R ↾s I ) )
4		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
6		2idlbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
7		eqid 2193	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
8	7	2idlmex 14000	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> R e. _V )
9	6, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
10	4, 7	2idlss 14013	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I C_ ( Base ` R ) )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I C_ ( Base ` R ) )
12	3, 5, 9, 11	ressbas2d 12689	. 2 |- ( ph -> I = ( Base ` J ) )
13	1, 12	eqtr4id 2245	1 |- ( ph -> B = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622  2Idealc2idl 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-lssm 13852  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968  df-2idl 13999

This theorem is referenced by:  2idlelbas  14015