Theorem 2idlbas 14516

Description: The base set of a two-sided ideal as structure. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlbas.j	|- J = ( R ↾s I )
2idlbas.b	|- B = ( Base ` J )

Assertion

Ref	Expression
2idlbas	|- ( ph -> B = I )

Proof of Theorem 2idlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.b	. 2 |- B = ( Base ` J )
2		2idlbas.j	. . . 4 |- J = ( R ↾s I )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> J = ( R ↾s I ) )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
6		2idlbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
7		eqid 2229	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
8	7	2idlmex 14502	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> R e. _V )
9	6, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
10	4, 7	2idlss 14515	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I C_ ( Base ` R ) )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I C_ ( Base ` R ) )
12	3, 5, 9, 11	ressbas2d 13138	. 2 |- ( ph -> I = ( Base ` J ) )
13	1, 12	eqtr4id 2281	1 |- ( ph -> B = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   Basecbs 13069   ↾_s cress 13070  2Idealc2idl 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-5 9193  df-6 9194  df-7 9195  df-8 9196  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-sets 13076  df-iress 13077  df-mulr 13161  df-sca 13163  df-vsca 13164  df-ip 13165  df-lssm 14354  df-sra 14436  df-rgmod 14437  df-lidl 14470  df-2idl 14501

This theorem is referenced by:  2idlelbas  14517