Theorem 2idlelbas 14353

Description: The base set of a two-sided ideal as structure is a left and right ideal. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlbas.j	|- J = ( R ↾s I )
2idlbas.b	|- B = ( Base ` J )

Assertion

Ref	Expression
2idlelbas	|- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Proof of Theorem 2idlelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		2idlbas.j	. . . 4 |- J = ( R ↾s I )
3		2idlbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` J )
4	1, 2, 3	2idlbas 14352	. . 3 |- ( ph -> B = I )
5		eqid 2206	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
6		eqid 2206	. . . . . 6 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
7		eqid 2206	. . . . . 6 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
8		eqid 2206	. . . . . 6 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
9	5, 6, 7, 8	2idlelb 14342	. . . . 5 |- ( I e. (2Ideal ` R ) <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	9	simplbi 274	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` R ) )
11	1, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
12	4, 11	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` R ) )
13	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
14	1, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
15	4, 14	eqeltrd 2283	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
16	12, 15	jca 306	1 |- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   ↾_s cress 12908  opp_rcoppr 13904  LIdealclidl 14304  2Idealc2idl 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-lssm 14190  df-sra 14272  df-rgmod 14273  df-lidl 14306  df-2idl 14337

This theorem is referenced by: (None)