Theorem 2idlelbas 14825

Description: The base set of a two-sided ideal as structure is a left and right ideal. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlbas.j	|- J = ( R ↾s I )
2idlbas.b	|- B = ( Base ` J )

Assertion

Ref	Expression
2idlelbas	|- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Proof of Theorem 2idlelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		2idlbas.j	. . . 4 |- J = ( R ↾s I )
3		2idlbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` J )
4	1, 2, 3	2idlbas 14824	. . 3 |- ( ph -> B = I )
5		eqid 2238	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
6		eqid 2238	. . . . . 6 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
7		eqid 2238	. . . . . 6 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
8		eqid 2238	. . . . . 6 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
9	5, 6, 7, 8	2idlelb 14814	. . . . 5 |- ( I e. (2Ideal ` R ) <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	9	simplbi 274	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` R ) )
11	1, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
12	4, 11	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` R ) )
13	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
14	1, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
15	4, 14	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
16	12, 15	jca 306	1 |- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331  opp_rcoppr 14345  LIdealclidl 14776  2Idealc2idl 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-lssm 14662  df-sra 14744  df-rgmod 14745  df-lidl 14778  df-2idl 14809

This theorem is referenced by: (None)