Theorem 2idlelbas 14664

Description: The base set of a two-sided ideal as structure is a left and right ideal. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlbas.j	|- J = ( R ↾s I )
2idlbas.b	|- B = ( Base ` J )

Assertion

Ref	Expression
2idlelbas	|- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Proof of Theorem 2idlelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		2idlbas.j	. . . 4 |- J = ( R ↾s I )
3		2idlbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` J )
4	1, 2, 3	2idlbas 14663	. . 3 |- ( ph -> B = I )
5		eqid 2232	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
6		eqid 2232	. . . . . 6 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
7		eqid 2232	. . . . . 6 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
8		eqid 2232	. . . . . 6 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
9	5, 6, 7, 8	2idlelb 14653	. . . . 5 |- ( I e. (2Ideal ` R ) <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	9	simplbi 274	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` R ) )
11	1, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
12	4, 11	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` R ) )
13	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
14	1, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
15	4, 14	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
16	12, 15	jca 306	1 |- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213  opp_rcoppr 14211  LIdealclidl 14615  2Idealc2idl 14647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-ip 13308  df-lssm 14501  df-sra 14583  df-rgmod 14584  df-lidl 14617  df-2idl 14648

This theorem is referenced by: (None)