Theorem 2idlelbas 14529

Description: The base set of a two-sided ideal as structure is a left and right ideal. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlbas.j	|- J = ( R ↾s I )
2idlbas.b	|- B = ( Base ` J )

Assertion

Ref	Expression
2idlelbas	|- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Proof of Theorem 2idlelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		2idlbas.j	. . . 4 |- J = ( R ↾s I )
3		2idlbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` J )
4	1, 2, 3	2idlbas 14528	. . 3 |- ( ph -> B = I )
5		eqid 2231	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
6		eqid 2231	. . . . . 6 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
7		eqid 2231	. . . . . 6 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
8		eqid 2231	. . . . . 6 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
9	5, 6, 7, 8	2idlelb 14518	. . . . 5 |- ( I e. (2Ideal ` R ) <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	9	simplbi 274	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` R ) )
11	1, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
12	4, 11	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` R ) )
13	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
14	1, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
15	4, 14	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ph -> B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
16	12, 15	jca 306	1 |- ( ph -> ( B e. (LIdeal ` R ) /\ B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082  opp_rcoppr 14079  LIdealclidl 14480  2Idealc2idl 14512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-lssm 14366  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-lidl 14482  df-2idl 14513

This theorem is referenced by: (None)