Theorem rng2idlsubrng 14440

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a non-unital ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.) (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )
rng2idlsubrng.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
rng2idlsubrng.u	|- ( ph -> ( R ↾s I ) e. Rng )

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubrng	|- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem rng2idlsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubrng.r	. 2 |- ( ph -> R e. Rng )
2		rng2idlsubrng.u	. 2 |- ( ph -> ( R ↾s I ) e. Rng )
3		rng2idlsubrng.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
4		eqid 2207	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5		eqid 2207	. . . 4 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
6	4, 5	2idlss 14437	. . 3 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I C_ ( Base ` R ) )
7	3, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> I C_ ( Base ` R ) )
8	4	issubrng 14122	. 2 |- ( I e. (SubRng ` R ) <-> ( R e. Rng /\ ( R ↾s I ) e. Rng /\ I C_ ( Base ` R ) ) )
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1184	1 |- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   C_ wss 3175   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   Basecbs 12993   ↾_s cress 12994  Rngcrng 13855  SubRngcsubrng 14120  2Idealc2idl 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-ltxr 8149  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-iress 13001  df-mulr 13084  df-sca 13086  df-vsca 13087  df-ip 13088  df-subrng 14121  df-lssm 14276  df-sra 14358  df-rgmod 14359  df-lidl 14392  df-2idl 14423

This theorem is referenced by:  rng2idlnsg  14441  rng2idl0  14442  rng2idlsubgsubrng  14443