Theorem 2idlelbas 14533

Description: The base set of a two-sided ideal as structure is a left and right ideal. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlbas.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2idlbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
2idlelbas	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))

Proof of Theorem 2idlelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		2idlbas.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
3		2idlbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)
4	1, 2, 3	2idlbas 14532	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐼)
5		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
6		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
7		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
8		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	2idlelb 14522	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
10	9	simplbi 274	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	1, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
12	4, 11	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	9	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
14	1, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
15	4, 14	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
16	12, 15	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084   ↾_s cress 13085  opp_rcoppr 14083  LIdealclidl 14484  2Idealc2idl 14516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486  df-2idl 14517

This theorem is referenced by: (None)