ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strbas1g GIF version

Theorem 2strbas1g 12492
Description: The base set of a constructed two-slot structure. Version of 2strbasg 12489 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2strbas1g ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 2strbas1g
StepHypRef Expression
1 2str1.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2 2str1.b . . 3 (Base‘ndx) < 𝑁
3 2str1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
41, 2, 32strstr1g 12491 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
5 simpl 108 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵𝑉)
6 basendxnn 12443 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ ℕ
7 opexg 4203 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
86, 5, 7sylancr 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
9 prid1g 3677 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
108, 9syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
1110, 1eleqtrrdi 2258 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
124, 5, 11opelstrbas 12485 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1342  wcel 2135  Vcvv 2724  {cpr 3574  cop 3576   class class class wbr 3979  cfv 5185   < clt 7927  cn 8851  ndxcnx 12385  Basecbs 12388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-inn 8852  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-fz 9939  df-struct 12390  df-ndx 12391  df-slot 12392  df-base 12394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator