Theorem 9t11e99 9577

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	|- ( 9 x. ; 1 1 ) = ; 9 9

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9070	. . . 4 |- 9 e. CC
2		10nn0 9465	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN0
3	2	nn0cni 9252	. . . . 5 |- ; 1 0 e. CC
4		ax-1cn 7965	. . . . 5 |- 1 e. CC
5	3, 4	mulcli 8024	. . . 4 |- (; 1 0 x. 1 ) e. CC
6	1, 5, 4	adddii 8029	. . 3 |- ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) ) = ( ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) + ( 9 x. 1 ) )
7	3	mulid1i 8021	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
8	7	oveq2i 5929	. . . . 5 |- ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) = ( 9 x. ; 1 0 )
9	1, 3	mulcomi 8025	. . . . 5 |- ( 9 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 x. 9 )
10	8, 9	eqtri 2214	. . . 4 |- ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) = (; 1 0 x. 9 )
11	1	mulid1i 8021	. . . 4 |- ( 9 x. 1 ) = 9
12	10, 11	oveq12i 5930	. . 3 |- ( ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) + ( 9 x. 1 ) ) = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
13	6, 12	eqtri 2214	. 2 |- ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) ) = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
14		dfdec10 9451	. . 3 |- ; 1 1 = ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 )
15	14	oveq2i 5929	. 2 |- ( 9 x. ; 1 1 ) = ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) )
16		dfdec10 9451	. 2 |- ; 9 9 = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2224	1 |- ( 9 x. ; 1 1 ) = ; 9 9

Syntax hints:   = wceq 1364  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   9c9 9040  ;cdc 9448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-dec 9449

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  12007