Theorem 9t11e99 9906

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	|- ( 9 x. ; 1 1 ) = ; 9 9

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9392	. . . 4 |- 9 e. CC
2		10nn0 9794	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN0
3	2	nn0cni 9575	. . . . 5 |- ; 1 0 e. CC
4		ax-1cn 8272	. . . . 5 |- 1 e. CC
5	3, 4	mulcli 8331	. . . 4 |- (; 1 0 x. 1 ) e. CC
6	1, 5, 4	adddii 8336	. . 3 |- ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) ) = ( ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) + ( 9 x. 1 ) )
7	3	mulridi 8328	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
8	7	oveq2i 6096	. . . . 5 |- ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) = ( 9 x. ; 1 0 )
9	1, 3	mulcomi 8332	. . . . 5 |- ( 9 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 x. 9 )
10	8, 9	eqtri 2259	. . . 4 |- ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) = (; 1 0 x. 9 )
11	1	mulridi 8328	. . . 4 |- ( 9 x. 1 ) = 9
12	10, 11	oveq12i 6097	. . 3 |- ( ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) + ( 9 x. 1 ) ) = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
13	6, 12	eqtri 2259	. 2 |- ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) ) = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
14		dfdec10 9780	. . 3 |- ; 1 1 = ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 )
15	14	oveq2i 6096	. 2 |- ( 9 x. ; 1 1 ) = ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) )
16		dfdec10 9780	. 2 |- ; 9 9 = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2269	1 |- ( 9 x. ; 1 1 ) = ; 9 9

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   9c9 9362  ;cdc 9777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778

This theorem is used by:  3dvds2dec  12633