Theorem 9t11e99 9739

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	⊢ (9 · ;11) = ;99

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9230	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
2		10nn0 9627	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9413	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8124	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 8183	. . . 4 ⊢ (;10 · 1) ∈ ℂ
6	1, 5, 4	adddii 8188	. . 3 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1))
7	3	mulridi 8180	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 1) = ;10
8	7	oveq2i 6028	. . . . 5 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (9 · ;10)
9	1, 3	mulcomi 8184	. . . . 5 ⊢ (9 · ;10) = (;10 · 9)
10	8, 9	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (;10 · 9)
11	1	mulridi 8180	. . . 4 ⊢ (9 · 1) = 9
12	10, 11	oveq12i 6029	. . 3 ⊢ ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1)) = ((;10 · 9) + 9)
13	6, 12	eqtri 2252	. 2 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((;10 · 9) + 9)
14		dfdec10 9613	. . 3 ⊢ ;11 = ((;10 · 1) + 1)
15	14	oveq2i 6028	. 2 ⊢ (9 · ;11) = (9 · ((;10 · 1) + 1))
16		dfdec10 9613	. 2 ⊢ ;99 = ((;10 · 9) + 9)
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2262	1 ⊢ (9 · ;11) = ;99

Syntax hints:   = wceq 1397  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036  9c9 9200  ;cdc 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  12426