Theorem 9t11e99 9703

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	⊢ (9 · ;11) = ;99

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9194	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
2		10nn0 9591	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9377	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
4		ax-1cn 8088	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 8147	. . . 4 ⊢ (;10 · 1) ∈ ℂ
6	1, 5, 4	adddii 8152	. . 3 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1))
7	3	mulridi 8144	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 1) = ;10
8	7	oveq2i 6011	. . . . 5 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (9 · ;10)
9	1, 3	mulcomi 8148	. . . . 5 ⊢ (9 · ;10) = (;10 · 9)
10	8, 9	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (;10 · 9)
11	1	mulridi 8144	. . . 4 ⊢ (9 · 1) = 9
12	10, 11	oveq12i 6012	. . 3 ⊢ ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1)) = ((;10 · 9) + 9)
13	6, 12	eqtri 2250	. 2 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((;10 · 9) + 9)
14		dfdec10 9577	. . 3 ⊢ ;11 = ((;10 · 1) + 1)
15	14	oveq2i 6011	. 2 ⊢ (9 · ;11) = (9 · ((;10 · 1) + 1))
16		dfdec10 9577	. 2 ⊢ ;99 = ((;10 · 9) + 9)
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2260	1 ⊢ (9 · ;11) = ;99

Syntax hints:   = wceq 1395  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000  9c9 9164  ;cdc 9574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  12372