Theorem 9t11e99 9527

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	⊢ (9 · ;11) = ;99

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 9021	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
2		10nn0 9415	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9202	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
4		ax-1cn 7918	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 7976	. . . 4 ⊢ (;10 · 1) ∈ ℂ
6	1, 5, 4	adddii 7981	. . 3 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1))
7	3	mulid1i 7973	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 1) = ;10
8	7	oveq2i 5899	. . . . 5 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (9 · ;10)
9	1, 3	mulcomi 7977	. . . . 5 ⊢ (9 · ;10) = (;10 · 9)
10	8, 9	eqtri 2208	. . . 4 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (;10 · 9)
11	1	mulid1i 7973	. . . 4 ⊢ (9 · 1) = 9
12	10, 11	oveq12i 5900	. . 3 ⊢ ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1)) = ((;10 · 9) + 9)
13	6, 12	eqtri 2208	. 2 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((;10 · 9) + 9)
14		dfdec10 9401	. . 3 ⊢ ;11 = ((;10 · 1) + 1)
15	14	oveq2i 5899	. 2 ⊢ (9 · ;11) = (9 · ((;10 · 1) + 1))
16		dfdec10 9401	. 2 ⊢ ;99 = ((;10 · 9) + 9)
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2218	1 ⊢ (9 · ;11) = ;99

Syntax hints:   = wceq 1363  (class class class)co 5888  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830  9c9 8991  ;cdc 9398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-dec 9399

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11885