Theorem 9t11e99 9418

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	⊢ (9 · ;11) = ;99

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 8915	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
2		10nn0 9306	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9096	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
4		ax-1cn 7819	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 7877	. . . 4 ⊢ (;10 · 1) ∈ ℂ
6	1, 5, 4	adddii 7882	. . 3 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1))
7	3	mulid1i 7874	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 1) = ;10
8	7	oveq2i 5832	. . . . 5 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (9 · ;10)
9	1, 3	mulcomi 7878	. . . . 5 ⊢ (9 · ;10) = (;10 · 9)
10	8, 9	eqtri 2178	. . . 4 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (;10 · 9)
11	1	mulid1i 7874	. . . 4 ⊢ (9 · 1) = 9
12	10, 11	oveq12i 5833	. . 3 ⊢ ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1)) = ((;10 · 9) + 9)
13	6, 12	eqtri 2178	. 2 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((;10 · 9) + 9)
14		dfdec10 9292	. . 3 ⊢ ;11 = ((;10 · 1) + 1)
15	14	oveq2i 5832	. 2 ⊢ (9 · ;11) = (9 · ((;10 · 1) + 1))
16		dfdec10 9292	. 2 ⊢ ;99 = ((;10 · 9) + 9)
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2188	1 ⊢ (9 · ;11) = ;99

Syntax hints:   = wceq 1335  (class class class)co 5821  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   · cmul 7731  9c9 8885  ;cdc 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-sub 8042  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-5 8889  df-6 8890  df-7 8891  df-8 8892  df-9 8893  df-n0 9085  df-dec 9290

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11749