Theorem asclghm 15134

Description: The algebra scalar lifting function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	|- A = (algSc ` W )
asclf.f	|- F = (Scalar ` W )
asclf.r	|- ( ph -> W e. Ring )
asclf.l	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
asclghm	|- ( ph -> A e. ( F GrpHom W ) )

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
2		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		eqid 2238	. 2 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
4		eqid 2238	. 2 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		asclf.l	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
6		asclf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7	6	lmodring 14740	. . . 4 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
8	5, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F e. Ring )
9	8	ringgrpd 14416	. 2 |- ( ph -> F e. Grp )
10		asclf.r	. . 3 |- ( ph -> W e. Ring )
11	10	ringgrpd 14416	. 2 |- ( ph -> W e. Grp )
12		asclf.a	. . 3 |- A = (algSc ` W )
13	12, 6, 10, 5, 1, 2	asclf 15133	. 2 |- ( ph -> A : ( Base ` F ) --> ( Base ` W ) )
14	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> W e. LMod )
15		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> x e. ( Base ` F ) )
16		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
17		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
18	2, 17	ringidcl 14432	. . . . . 6 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
21		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
22	2, 4, 6, 21, 1, 3	lmodvsdir 14758	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) /\ ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( +g ` F ) y ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ( +g ` W ) ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
23	14, 15, 16, 20, 22	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( ( x ( +g ` F ) y ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ( +g ` W ) ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
24	1, 3	grpcl 13872	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) e. ( Base ` F ) )
25	24	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( F e. Grp /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) e. ( Base ` F ) )
26	9, 25	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) e. ( Base ` F ) )
27	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> W e. Ring )
28	12, 6, 1, 21, 17, 26, 14, 27	asclvald 15131	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` ( x ( +g ` F ) y ) ) = ( ( x ( +g ` F ) y ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
29	12, 6, 1, 21, 17, 15, 14, 27	asclvald 15131	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` x ) = ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
30	12, 6, 1, 21, 17, 16, 14, 27	asclvald 15131	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` y ) = ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
31	29, 30	oveq12d 6106	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( ( A ` x ) ( +g ` W ) ( A ` y ) ) = ( ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ( +g ` W ) ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
32	23, 28, 31	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` ( x ( +g ` F ) y ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` W ) ( A ` y ) ) )
33	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 32	isghmd 14114	1 |- ( ph -> A e. ( F GrpHom W ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   Grpcgrp 13864   GrpHom cghm 14102   1rcur 14369   Ringcrg 14407   LModclmod 14732  algSccascl 15107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-ghm 14103  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-ascl 15110

This theorem is used by:  asclinvg  15141  asclrhm  15142