Theorem asclghm 15008

Description: The algebra scalar lifting function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	|- A = (algSc ` W )
asclf.f	|- F = (Scalar ` W )
asclf.r	|- ( ph -> W e. Ring )
asclf.l	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
asclghm	|- ( ph -> A e. ( F GrpHom W ) )

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
2		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		eqid 2238	. 2 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
4		eqid 2238	. 2 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		asclf.l	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
6		asclf.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7	6	lmodring 14614	. . . 4 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
8	5, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F e. Ring )
9	8	ringgrpd 14292	. 2 |- ( ph -> F e. Grp )
10		asclf.r	. . 3 |- ( ph -> W e. Ring )
11	10	ringgrpd 14292	. 2 |- ( ph -> W e. Grp )
12		asclf.a	. . 3 |- A = (algSc ` W )
13	12, 6, 10, 5, 1, 2	asclf 15007	. 2 |- ( ph -> A : ( Base ` F ) --> ( Base ` W ) )
14	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> W e. LMod )
15		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> x e. ( Base ` F ) )
16		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
17		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
18	2, 17	ringidcl 14308	. . . . . 6 |- ( W e. Ring -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) )
21		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
22	2, 4, 6, 21, 1, 3	lmodvsdir 14632	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) /\ ( 1r ` W ) e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( +g ` F ) y ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ( +g ` W ) ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
23	14, 15, 16, 20, 22	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( ( x ( +g ` F ) y ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ( +g ` W ) ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
24	1, 3	grpcl 13796	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) e. ( Base ` F ) )
25	24	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( F e. Grp /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) e. ( Base ` F ) )
26	9, 25	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) e. ( Base ` F ) )
27	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> W e. Ring )
28	12, 6, 1, 21, 17, 26, 14, 27	asclvald 15005	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` ( x ( +g ` F ) y ) ) = ( ( x ( +g ` F ) y ) ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
29	12, 6, 1, 21, 17, 15, 14, 27	asclvald 15005	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` x ) = ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
30	12, 6, 1, 21, 17, 16, 14, 27	asclvald 15005	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` y ) = ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
31	29, 30	oveq12d 6097	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( ( A ` x ) ( +g ` W ) ( A ` y ) ) = ( ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ( +g ` W ) ( y ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) )
32	23, 28, 31	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` F ) ) ) -> ( A ` ( x ( +g ` F ) y ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` W ) ( A ` y ) ) )
33	1, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 32	isghmd 14038	1 |- ( ph -> A e. ( F GrpHom W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   Grpcgrp 13788   GrpHom cghm 14026   1rcur 14245   Ringcrg 14283   LModclmod 14606  algSccascl 14981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-ghm 14027  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-lmod 14608  df-ascl 14984

This theorem is referenced by:  asclinvg  15015  asclrhm  15016