Theorem cbvprod 11723

Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvprod.1	|- ( j = k -> B = C )
cbvprod.2	|- F/_ k A
cbvprod.3	|- F/_ j A
cbvprod.4	|- F/_ k B
cbvprod.5	|- F/_ j C

Assertion

Ref	Expression
cbvprod	|- prod_ j e. A B = prod_ k e. A C

Distinct variable group:   j, k

Allowed substitution hints:   A( j, k)   B( j, k)   C( j, k)

Proof of Theorem cbvprod

Dummy variables f m n s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvprod.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k A
2	1	nfcri 2333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k j e. A
3		cbvprod.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k B
4		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k 1
5	2, 3, 4	nfif 3589	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k if ( j e. A , B , 1 )
6		cbvprod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j A
7	6	nfcri 2333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j k e. A
8		cbvprod.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j C
9		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j 1
10	7, 8, 9	nfif 3589	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j if ( k e. A , C , 1 )
11		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
12		cbvprod.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> B = C )
13	11, 12	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> if ( j e. A , B , 1 ) = if ( k e. A , C , 1 ) )
14	5, 10, 13	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
15		seqeq3 10544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) -> seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
17	16	breq1i 4040	. . . . . . . . . 10 |- ( seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y )
18	17	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
19	18	exbii 1619	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
20	19	rexbii 2504	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
21		seqeq3 10544	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) -> seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
22	14, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
23	22	breq1i 4040	. . . . . . 7 |- ( seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x )
24	20, 23	anbi12i 460	. . . . . 6 |- ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
25	24	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
26	25	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
27	3, 8, 12	cbvcsbw 3088	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
28		ifeq1 3564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 )
30	29	mpteq2i 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) )
31		seqeq3 10544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) )
33	32	fveq1i 5559	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m )
34	33	eqeq2i 2207	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) )
35	34	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) )
36	35	exbii 1619	. . . . 5 |- ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) )
37	36	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) )
38	26, 37	orbi12i 765	. . 3 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
39	38	iotabii 5242	. 2 |- ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
40		df-proddc 11716	. 2 |- prod_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
41		df-proddc 11716	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. s e. ( ZZ>= ` m )DECID s e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
42	39, 40, 41	3eqtr4i 2227	1 |- prod_ j e. A B = prod_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   F/_wnfc 2326   A.wral 2475   E.wrex 2476   [_csb 3084   C_ wss 3157   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   iotacio 5217   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   <_ cle 8062   # cap 8608   NNcn 8990   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   seqcseq 10539   ~~> cli 11443   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-seqfrec 10540  df-proddc 11716

This theorem is referenced by:  cbvprodv  11724  cbvprodi  11725