ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cbvprod Unicode version

Theorem cbvprod 11334
Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvprod.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvprod.2  |-  F/_ k A
cbvprod.3  |-  F/_ j A
cbvprod.4  |-  F/_ k B
cbvprod.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvprod  |-  prod_ j  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C
Distinct variable group:    j, k
Allowed substitution hints:    A( j, k)    B( j, k)    C( j, k)

Proof of Theorem cbvprod
Dummy variables  f  m  n  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvprod.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k A
21nfcri 2275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  j  e.  A
3 cbvprod.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k B
4 nfcv 2281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
1
52, 3, 4nfif 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  B ,  1 )
6 cbvprod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ j A
76nfcri 2275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ j  k  e.  A
8 cbvprod.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j C
9 nfcv 2281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j
1
107, 8, 9nfif 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  C ,  1 )
11 eleq1w 2200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
12 cbvprod.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
1311, 12ifbieq1d 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
145, 10, 13cbvmpt 4023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
15 seqeq3 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  seq n
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
1716breq1i 3936 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq n (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )
1817anbi2i 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y #  0  /\  seq n (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <-> 
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
1918exbii 1584 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2019rexbii 2442 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
21 seqeq3 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  seq m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
2214, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  seq m
(  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
2322breq1i 3936 . . . . . . 7  |-  (  seq m (  x.  , 
( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )
2420, 23anbi12i 455 . . . . . 6  |-  ( ( E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2524anbi2i 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  <->  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
2625rexbii 2442 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. s  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
273, 8, 12cbvcsbw 3007 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
28 ifeq1 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  1 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 )
3029mpteq2i 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) )
31 seqeq3 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) )  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) )  =  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) )  =  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) )
3332fveq1i 5422 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
)
3433eqeq2i 2150 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) )
3534anbi2i 452 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) )
3635exbii 1584 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) )
3736rexbii 2442 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) )
3826, 37orbi12i 753 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. s  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
3938iotabii 5110 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
40 df-proddc 11327 . 2  |-  prod_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
41 df-proddc 11327 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. s  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  s  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
4239, 40, 413eqtr4i 2170 1  |-  prod_ j  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697  DECID wdc 819    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   F/_wnfc 2268   A.wral 2416   E.wrex 2417   [_csb 3003    C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   iotacio 5086   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7627   1c1 7628    x. cmul 7632    <_ cle 7808   # cap 8350   NNcn 8727   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225    ~~> cli 11054   prod_cprod 11326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-seqfrec 10226  df-proddc 11327
This theorem is referenced by:  cbvprodv  11335  cbvprodi  11336
  Copyright terms: Public domain W3C validator