Theorem ifbieq1d 3645

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3644	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3640	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2265	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   ifcif 3620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-if 3621

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7401  ctssdc  7404  enumctlemm  7405  iseqf1olemfvp  10872  seq3f1olemqsum  10875  seq3f1oleml  10878  seq3f1o  10879  bcval  11111  swrdval  11340  sumrbdclem  12063  summodclem3  12066  summodclem2a  12067  summodc  12069  zsumdc  12070  fsum3  12073  isumss  12077  isumss2  12079  fsum3cvg2  12080  fsum3ser  12083  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  sumsnf  12095  fsummulc2  12134  isumlessdc  12182  cbvprod  12244  prodrbdclem  12257  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  prodmodc  12264  zproddc  12265  fprodseq  12269  fprodntrivap  12270  prodssdc  12275  fprodmul  12277  prodsnf  12278  pcmpt  13041  pcmptdvds  13043  elply2  15600  lgsval  15877  lgsfvalg  15878  lgsdir  15908  lgsdilem2  15909  lgsdi  15910  lgsne0  15911