Theorem ifbieq1d 3556

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3555	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3551	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2210	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   ifcif 3534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-if 3535

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7108  ctssdc  7111  enumctlemm  7112  iseqf1olemfvp  10496  seq3f1olemqsum  10499  seq3f1oleml  10502  seq3f1o  10503  bcval  10728  sumrbdclem  11384  summodclem3  11387  summodclem2a  11388  summodc  11390  zsumdc  11391  fsum3  11394  isumss  11398  isumss2  11400  fsum3cvg2  11401  fsum3ser  11404  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  sumsnf  11416  fsummulc2  11455  isumlessdc  11503  cbvprod  11565  prodrbdclem  11578  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  prodmodc  11585  zproddc  11586  fprodseq  11590  fprodntrivap  11591  prodssdc  11596  fprodmul  11598  prodsnf  11599  pcmpt  12340  pcmptdvds  12342  lgsval  14375  lgsfvalg  14376  lgsdir  14406  lgsdilem2  14407  lgsdi  14408  lgsne0  14409