Theorem ifbieq1d 3584

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3583	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3579	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-if 3563

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7177  ctssdc  7180  enumctlemm  7181  iseqf1olemfvp  10604  seq3f1olemqsum  10607  seq3f1oleml  10610  seq3f1o  10611  bcval  10843  sumrbdclem  11544  summodclem3  11547  summodclem2a  11548  summodc  11550  zsumdc  11551  fsum3  11554  isumss  11558  isumss2  11560  fsum3cvg2  11561  fsum3ser  11564  fsumcl2lem  11565  fsumadd  11573  sumsnf  11576  fsummulc2  11615  isumlessdc  11663  cbvprod  11725  prodrbdclem  11738  prodmodclem3  11742  prodmodclem2a  11743  prodmodc  11745  zproddc  11746  fprodseq  11750  fprodntrivap  11751  prodssdc  11756  fprodmul  11758  prodsnf  11759  pcmpt  12522  pcmptdvds  12524  elply2  14981  lgsval  15255  lgsfvalg  15256  lgsdir  15286  lgsdilem2  15287  lgsdi  15288  lgsne0  15289