Theorem ifbieq1d 3626

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3625	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3621	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   ifcif 3603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-if 3604

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7300  ctssdc  7303  enumctlemm  7304  iseqf1olemfvp  10762  seq3f1olemqsum  10765  seq3f1oleml  10768  seq3f1o  10769  bcval  11001  swrdval  11219  sumrbdclem  11928  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  summodc  11934  zsumdc  11935  fsum3  11938  isumss  11942  isumss2  11944  fsum3cvg2  11945  fsum3ser  11948  fsumcl2lem  11949  fsumadd  11957  sumsnf  11960  fsummulc2  11999  isumlessdc  12047  cbvprod  12109  prodrbdclem  12122  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  prodmodc  12129  zproddc  12130  fprodseq  12134  fprodntrivap  12135  prodssdc  12140  fprodmul  12142  prodsnf  12143  pcmpt  12906  pcmptdvds  12908  elply2  15449  lgsval  15723  lgsfvalg  15724  lgsdir  15754  lgsdilem2  15755  lgsdi  15756  lgsne0  15757