Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3662	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3658	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7451  ctssdc  7454  enumctlemm  7455  iseqf1olemfvp  10962  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  bcval  11203  swrdval  11436  sumrbdclem  12163  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3  12173  isumss  12177  isumss2  12179  fsum3cvg2  12180  fsum3ser  12183  fsumcl2lem  12184  fsumadd  12192  sumsnf  12195  fsummulc2  12234  isumlessdc  12282  cbvprod  12344  prodrbdclem  12357  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  prodmodc  12364  zproddc  12365  fprodseq  12369  fprodntrivap  12370  prodssdc  12375  fprodmul  12377  prodsnf  12378  pcmpt  13145  pcmptdvds  13147  ballotfilemsval  13304  ballotfilemieq  13312  ballotfi  13334  elply2  15927  prmorcht  16243  bposlem5  16276  lgsval  16289  lgsfvalg  16290  lgsdir  16320  lgsdilem2  16321  lgsdi  16322  lgsne0  16323