Theorem ifbieq1d 3584

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3583	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3579	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-if 3563

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  iseqf1olemfvp  10621  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  bcval  10860  sumrbdclem  11561  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3  11571  isumss  11575  isumss2  11577  fsum3cvg2  11578  fsum3ser  11581  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  sumsnf  11593  fsummulc2  11632  isumlessdc  11680  cbvprod  11742  prodrbdclem  11755  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  prodmodc  11762  zproddc  11763  fprodseq  11767  fprodntrivap  11768  prodssdc  11773  fprodmul  11775  prodsnf  11776  pcmpt  12539  pcmptdvds  12541  elply2  15079  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387