Theorem ifbieq1d 3660

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3659	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3655	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   ifcif 3635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3636

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7440  ctssdc  7443  enumctlemm  7444  iseqf1olemfvp  10925  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  bcval  11165  swrdval  11398  sumrbdclem  12122  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  summodc  12128  zsumdc  12129  fsum3  12132  isumss  12136  isumss2  12138  fsum3cvg2  12139  fsum3ser  12142  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  sumsnf  12154  fsummulc2  12193  isumlessdc  12241  cbvprod  12303  prodrbdclem  12316  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  prodmodc  12323  zproddc  12324  fprodseq  12328  fprodntrivap  12329  prodssdc  12334  fprodmul  12336  prodsnf  12337  pcmpt  13100  pcmptdvds  13102  ballotfilemsval  13230  ballotfilemieq  13238  ballotfi  13260  elply2  15759  lgsval  16037  lgsfvalg  16038  lgsdir  16068  lgsdilem2  16069  lgsdi  16070  lgsne0  16071