Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3662	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3658	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  enumctlemm  7454  iseqf1olemfvp  10960  seq3f1olemqsum  10963  seq3f1oleml  10966  seq3f1o  10967  bcval  11201  swrdval  11434  sumrbdclem  12160  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  summodc  12166  zsumdc  12167  fsum3  12170  isumss  12174  isumss2  12176  fsum3cvg2  12177  fsum3ser  12180  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  sumsnf  12192  fsummulc2  12231  isumlessdc  12279  cbvprod  12341  prodrbdclem  12354  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  prodmodc  12361  zproddc  12362  fprodseq  12366  fprodntrivap  12367  prodssdc  12372  fprodmul  12374  prodsnf  12375  pcmpt  13142  pcmptdvds  13144  ballotfilemsval  13301  ballotfilemieq  13309  ballotfi  13331  elply2  15885  bposlem5  16213  lgsval  16221  lgsfvalg  16222  lgsdir  16252  lgsdilem2  16253  lgsdi  16254  lgsne0  16255