Theorem ifbieq1d 3584

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3583	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3579	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-if 3563

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  iseqf1olemfvp  10619  seq3f1olemqsum  10622  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  bcval  10858  sumrbdclem  11559  summodclem3  11562  summodclem2a  11563  summodc  11565  zsumdc  11566  fsum3  11569  isumss  11573  isumss2  11575  fsum3cvg2  11576  fsum3ser  11579  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  sumsnf  11591  fsummulc2  11630  isumlessdc  11678  cbvprod  11740  prodrbdclem  11753  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  prodmodc  11760  zproddc  11761  fprodseq  11765  fprodntrivap  11766  prodssdc  11771  fprodmul  11773  prodsnf  11774  pcmpt  12537  pcmptdvds  12539  elply2  15055  lgsval  15329  lgsfvalg  15330  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363