Theorem ifbieq1d 3499

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3498	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3494	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2173	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   ifcif 3479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-if 3480

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7003  ctssdc  7006  enumctlemm  7007  iseqf1olemfvp  10301  seq3f1olemqsum  10304  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  bcval  10527  sumrbdclem  11178  summodclem3  11181  summodclem2a  11182  summodc  11184  zsumdc  11185  fsum3  11188  isumss  11192  isumss2  11194  fsum3cvg2  11195  fsum3ser  11198  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  sumsnf  11210  fsummulc2  11249  isumlessdc  11297  cbvprod  11359  prodrbdclem  11372  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  prodmodc  11379  zproddc  11380  fprodseq  11384