Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3662	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3658	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  enumctlemm  7454  iseqf1olemfvp  10947  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  bcval  11187  swrdval  11420  sumrbdclem  12144  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  summodc  12150  zsumdc  12151  fsum3  12154  isumss  12158  isumss2  12160  fsum3cvg2  12161  fsum3ser  12164  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  sumsnf  12176  fsummulc2  12215  isumlessdc  12263  cbvprod  12325  prodrbdclem  12338  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  prodmodc  12345  zproddc  12346  fprodseq  12350  fprodntrivap  12351  prodssdc  12356  fprodmul  12358  prodsnf  12359  pcmpt  13122  pcmptdvds  13124  ballotfilemsval  13252  ballotfilemieq  13260  ballotfi  13282  elply2  15836  lgsval  16123  lgsfvalg  16124  lgsdir  16154  lgsdilem2  16155  lgsdi  16156  lgsne0  16157