Theorem ifbieq1d 3632

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3631	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3627	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   ifcif 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-if 3608

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7369  ctssdc  7372  enumctlemm  7373  iseqf1olemfvp  10835  seq3f1olemqsum  10838  seq3f1oleml  10841  seq3f1o  10842  bcval  11074  swrdval  11295  sumrbdclem  12018  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  summodc  12024  zsumdc  12025  fsum3  12028  isumss  12032  isumss2  12034  fsum3cvg2  12035  fsum3ser  12038  fsumcl2lem  12039  fsumadd  12047  sumsnf  12050  fsummulc2  12089  isumlessdc  12137  cbvprod  12199  prodrbdclem  12212  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  prodmodc  12219  zproddc  12220  fprodseq  12224  fprodntrivap  12225  prodssdc  12230  fprodmul  12232  prodsnf  12233  pcmpt  12996  pcmptdvds  12998  elply2  15546  lgsval  15823  lgsfvalg  15824  lgsdir  15854  lgsdilem2  15855  lgsdi  15856  lgsne0  15857