Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3662	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3658	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7456  ctssdc  7459  enumctlemm  7460  iseqf1olemfvp  10968  seq3f1olemqsum  10971  seq3f1oleml  10974  seq3f1o  10975  bcval  11209  swrdval  11442  sumrbdclem  12169  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  summodc  12175  zsumdc  12176  fsum3  12179  isumss  12183  isumss2  12185  fsum3cvg2  12186  fsum3ser  12189  fsumcl2lem  12190  fsumadd  12198  sumsnf  12201  fsummulc2  12240  isumlessdc  12288  cbvprod  12350  prodrbdclem  12363  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  prodmodc  12370  zproddc  12371  fprodseq  12375  fprodntrivap  12376  prodssdc  12381  fprodmul  12383  prodsnf  12384  pcmpt  13151  pcmptdvds  13153  ballotfilemsval  13310  ballotfilemieq  13318  ballotfi  13340  elply2  15961  prmorcht  16282  bposlem5  16315  lgsval  16328  lgsfvalg  16329  lgsdir  16359  lgsdilem2  16360  lgsdi  16361  lgsne0  16362