Theorem ifbieq1d 3593

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
ifbieq1d.2	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
2	1	ifbid 3592	. 2 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , A , C ) )
3		ifbieq1d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
4	3	ifeq1d 3588	. 2 |- ( ph -> if ( ch , A , C ) = if ( ch , B , C ) )
5	2, 4	eqtrd 2238	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ch , B , C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   ifcif 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-if 3572

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7212  ctssdc  7215  enumctlemm  7216  iseqf1olemfvp  10655  seq3f1olemqsum  10658  seq3f1oleml  10661  seq3f1o  10662  bcval  10894  swrdval  11101  sumrbdclem  11688  summodclem3  11691  summodclem2a  11692  summodc  11694  zsumdc  11695  fsum3  11698  isumss  11702  isumss2  11704  fsum3cvg2  11705  fsum3ser  11708  fsumcl2lem  11709  fsumadd  11717  sumsnf  11720  fsummulc2  11759  isumlessdc  11807  cbvprod  11869  prodrbdclem  11882  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  prodmodc  11889  zproddc  11890  fprodseq  11894  fprodntrivap  11895  prodssdc  11900  fprodmul  11902  prodsnf  11903  pcmpt  12666  pcmptdvds  12668  elply2  15207  lgsval  15481  lgsfvalg  15482  lgsdir  15512  lgsdilem2  15513  lgsdi  15514  lgsne0  15515