Theorem prodrbdclem2 11345

Description: Lemma for prodrbdc 11346. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrb.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodrb.5	|- ( ph -> N e. ZZ )
prodrb.6	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodrb.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
prodrbdc.mdc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrbdc.ndc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem2	|- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodrbdclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodrb.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
3		seqex 10223	. . 3 |- seq M ( x. , F ) e. _V
4		climres 11075	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( x. , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
5	2, 3, 4	sylancl 409	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
6		prodrb.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
7		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
8		prodmo.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
9	8	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10		prodrbdc.mdc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
11	10	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
12		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
13	7, 9, 11, 12	prodrbdclem 11343	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )
14	6, 13	mpidan 419	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )
15	14	breq1d 3939	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
16	5, 15	bitr3d 189	1 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   |` cres 4541   ` cfv 5123   CCcc 7621   1c1 7624   x. cmul 7628   ZZcz 9057   ZZ>=cuz 9329   seqcseq 10221   ~~> cli 11050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-clim 11051

This theorem is referenced by:  prodrbdc  11346