Theorem prodrbdclem2 11738

Description: Lemma for prodrbdc 11739. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrb.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodrb.5	|- ( ph -> N e. ZZ )
prodrb.6	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodrb.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
prodrbdc.mdc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrbdc.ndc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem2	|- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodrbdclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodrb.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
3		seqex 10541	. . 3 |- seq M ( x. , F ) e. _V
4		climres 11468	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( x. , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
6		prodrb.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
7		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
8		prodmo.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
9	8	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10		prodrbdc.mdc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
11	10	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
13	7, 9, 11, 12	prodrbdclem 11736	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )
14	6, 13	mpidan 423	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )
15	14	breq1d 4043	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
16	5, 15	bitr3d 190	1 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   |` cres 4665   ` cfv 5258   CCcc 7877   1c1 7880   x. cmul 7884   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   seqcseq 10539   ~~> cli 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-clim 11444

This theorem is referenced by:  prodrbdc  11739