Theorem prodrbdclem2 12340

Description: Lemma for prodrbdc 12341. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrb.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodrb.5	|- ( ph -> N e. ZZ )
prodrb.6	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodrb.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
prodrbdc.mdc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrbdc.ndc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem2	|- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodrbdclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodrb.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
3		seqex 10886	. . 3 |- seq M ( x. , F ) e. _V
4		climres 12069	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq M ( x. , F ) e. _V ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
5	2, 3, 4	sylancl 417	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
6		prodrb.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
7		prodmo.1	. . . . 5 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
8		prodmo.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
9	8	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10		prodrbdc.mdc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
11	10	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
13	7, 9, 11, 12	prodrbdclem 12338	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A C_ ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )
14	6, 13	mpidan 427	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) = seq N ( x. , F ) )
15	14	breq1d 4140	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( seq M ( x. , F ) |` ( ZZ>= ` N ) ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
16	5, 15	bitr3d 190	1 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   |` cres 4776   ` cfv 5377   CCcc 8177   1c1 8180   x. cmul 8184   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884   ~~> cli 12044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-clim 12045

This theorem is used by:  prodrbdc  12341