Theorem cncfss 13641

Description: The set of continuous functions is expanded when the codomain is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfss	|- ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) C_ ( A -cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfss

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 13635	. . . . . 6 |- ( f e. ( A -cn-> B ) -> f : A --> B )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> f : A --> B )
3		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ C )
4	2, 3	fssd 5370	. . . 4 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> f : A --> C )
5		cncfcdm 13640	. . . . 5 |- ( ( C C_ CC /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> ( f e. ( A -cn-> C ) <-> f : A --> C ) )
6	5	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> ( f e. ( A -cn-> C ) <-> f : A --> C ) )
7	4, 6	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> f e. ( A -cn-> C ) )
8	7	ex 115	. 2 |- ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) -> f e. ( A -cn-> C ) ) )
9	8	ssrdv 3159	1 |- ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) C_ ( A -cn-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2146   C_ wss 3127   -->wf 5204  (class class class)co 5865   CCcc 7784   -cn->ccncf 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-2 8951  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-cncf 13629

This theorem is referenced by:  cnlimci  13713