Theorem cncfss 15448

Description: The set of continuous functions is expanded when the codomain is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfss	|- ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) C_ ( A -cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfss

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 15442	. . . . . 6 |- ( f e. ( A -cn-> B ) -> f : A --> B )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> f : A --> B )
3		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ C )
4	2, 3	fssd 5522	. . . 4 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> f : A --> C )
5		cncfcdm 15447	. . . . 5 |- ( ( C C_ CC /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> ( f e. ( A -cn-> C ) <-> f : A --> C ) )
6	5	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> ( f e. ( A -cn-> C ) <-> f : A --> C ) )
7	4, 6	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) /\ f e. ( A -cn-> B ) ) -> f e. ( A -cn-> C ) )
8	7	ex 115	. 2 |- ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) -> ( f e. ( A -cn-> B ) -> f e. ( A -cn-> C ) ) )
9	8	ssrdv 3244	1 |- ( ( B C_ C /\ C C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) C_ ( A -cn-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   C_ wss 3211   -->wf 5348  (class class class)co 6050   CCcc 8125   -cn->ccncf 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-2 9296  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-cncf 15436

This theorem is referenced by:  maxcncf  15480  mincncf  15481  ivthreinc  15510  cnlimci  15538