Theorem cncfmpt1f 15266

Description: Composition of continuous functions. -cn-> analogue of cnmpt11f 14952. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	|- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15245	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5784	. . . 4 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7		eqidd 2230	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
9		cncff 15245	. . . . 5 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) -> F : CC --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : CC --> CC )
11	10	feqmptd 5686	. . 3 |- ( ph -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
12		fveq2 5626	. . 3 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 5801	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( F ` A ) ) )
14	1, 8	cncfco 15259	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
15	13, 14	eqeltrrd 2307	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   A.wral 2508   |-> cmpt 4144   o. ccom 4722   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   -cn->ccncf 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-map 6795  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-2 9165  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-cncf 15239

This theorem is referenced by:  maxcncf  15283  mincncf  15284  sincn  15437  coscn  15438