Theorem cncfmpt1f 14487

Description: Composition of continuous functions. -cn-> analogue of cnmpt11f 14187. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	|- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 14467	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2189	. . . . 5 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5682	. . . 4 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7		eqidd 2190	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
9		cncff 14467	. . . . 5 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) -> F : CC --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : CC --> CC )
11	10	feqmptd 5585	. . 3 |- ( ph -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
12		fveq2 5530	. . 3 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 5699	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( F ` A ) ) )
14	1, 8	cncfco 14481	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
15	13, 14	eqeltrrd 2267	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   A.wral 2468   |-> cmpt 4079   o. ccom 4645   -->wf 5227   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7828   -cn->ccncf 14460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-map 6668  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-2 8997  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-cncf 14461

This theorem is referenced by:  sincn  14593  coscn  14594