Theorem cncfmpt1f 14355

Description: Composition of continuous functions. -cn-> analogue of cnmpt11f 14055. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	|- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 14335	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2187	. . . . 5 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5679	. . . 4 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7		eqidd 2188	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
9		cncff 14335	. . . . 5 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) -> F : CC --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : CC --> CC )
11	10	feqmptd 5582	. . 3 |- ( ph -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
12		fveq2 5527	. . 3 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 5696	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( F ` A ) ) )
14	1, 8	cncfco 14349	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
15	13, 14	eqeltrrd 2265	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   A.wral 2465   |-> cmpt 4076   o. ccom 4642   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   -cn->ccncf 14328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-2 8991  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-cncf 14329

This theorem is referenced by:  sincn  14461  coscn  14462