Theorem cncfmpt1f 15321

Description: Composition of continuous functions. -cn-> analogue of cnmpt11f 15007. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	|- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15300	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5797	. . . 4 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7		eqidd 2232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
9		cncff 15300	. . . . 5 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) -> F : CC --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : CC --> CC )
11	10	feqmptd 5699	. . 3 |- ( ph -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
12		fveq2 5639	. . 3 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 5814	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( F ` A ) ) )
14	1, 8	cncfco 15314	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
15	13, 14	eqeltrrd 2309	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   A.wral 2510   |-> cmpt 4150   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   -cn->ccncf 15293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-cncf 15294

This theorem is referenced by:  maxcncf  15338  mincncf  15339  sincn  15492  coscn  15493