Theorem coscn 13485

Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coscn	|- cos e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem coscn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cos 11614	. 2 |- cos = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
2		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	addcncntop 13346	. . . . . . . . 9 |- + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 13483	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 7869	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 13370	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 13378	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8120	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 13370	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 13378	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 13379	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 13358	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2170	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5646	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 133	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2171	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2171	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) )
25		oveq1 5860	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5663	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) )
27		2cn 8949	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
28		2ap0 8971	. . . . . . 7 |- 2 # 0
29		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) )
30	29	divccncfap 13371	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 424	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 13372	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2248	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1357	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2243	1 |- cos e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1349   e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   _ici 7776   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   -ucneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589   2c2 8929   abscabs 10961   expce 11605   cosccos 11608   MetOpencmopn 12779   Cn ccn 12979   tX ctx 13046   -cn->ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-cos 11614  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  cosz12  13495  ioocosf1o  13569