Theorem coscn 15006

Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coscn	|- cos e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem coscn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cos 11816	. 2 |- cos = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
2		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	addcncntop 14798	. . . . . . . . 9 |- + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 15004	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 7974	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 14825	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 14834	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8227	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 14825	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 14834	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 14835	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 14813	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5712	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) )
25		oveq1 5929	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5729	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) )
27		2cn 9061	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
28		2ap0 9083	. . . . . . 7 |- 2 # 0
29		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) )
30	29	divccncfap 14826	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 14827	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2274	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1373	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2269	1 |- cos e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1365   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   o. ccom 4667   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   _ici 7881   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   -ucneg 8198   # cap 8608   / cdiv 8699   2c2 9041   abscabs 11162   expce 11807   cosccos 11810   MetOpencmopn 14097   Cn ccn 14421   tX ctx 14488   -cn->ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-cos 11816  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  cosz12  15016  ioocosf1o  15090