Theorem coscn 14276

Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coscn	|- cos e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem coscn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cos 11661	. 2 |- cos = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
2		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	addcncntop 14137	. . . . . . . . 9 |- + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 14274	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 7908	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 14169	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8160	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 14169	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 14170	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 14149	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5668	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) )
25		oveq1 5884	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5685	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) )
27		2cn 8992	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
28		2ap0 9014	. . . . . . 7 |- 2 # 0
29		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) )
30	29	divccncfap 14162	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 14163	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1362	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2250	1 |- cos e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1354   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   o. ccom 4632   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   _ici 7815   + caddc 7816   x. cmul 7818   - cmin 8130   -ucneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631   2c2 8972   abscabs 11008   expce 11652   cosccos 11655   MetOpencmopn 13530   Cn ccn 13770   tX ctx 13837   -cn->ccncf 14142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-cos 11661  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211

This theorem is referenced by:  cosz12  14286  ioocosf1o  14360