Theorem coscn 15581

Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coscn	|- cos e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem coscn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cos 12292	. 2 |- cos = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
2		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	addcncntop 15373	. . . . . . . . 9 |- + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 15579	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 8187	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 15400	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 15409	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8439	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 15400	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 15409	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 15410	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 15388	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5805	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) )
25		oveq1 6035	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5822	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) )
27		2cn 9273	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
28		2ap0 9295	. . . . . . 7 |- 2 # 0
29		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) )
30	29	divccncfap 15401	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 15402	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2309	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1407	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2304	1 |- cos e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1399   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097   - cmin 8409   -ucneg 8410   # cap 8820   / cdiv 8911   2c2 9253   abscabs 11637   expce 12283   cosccos 12286   MetOpencmopn 14637   Cn ccn 14996   tX ctx 15063   -cn->ccncf 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-cos 12292  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-ntr 14907  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-tx 15064  df-cncf 15382  df-limced 15467  df-dvap 15468

This theorem is referenced by:  cosz12  15591  ioocosf1o  15665