Theorem coscn 15635

Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coscn	|- cos e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem coscn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cos 12337	. 2 |- cos = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
2		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	addcncntop 15427	. . . . . . . . 9 |- + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> + e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 15633	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 8222	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 15454	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 15463	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8474	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 15454	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 15463	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 15464	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 15442	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5827	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2233	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2233	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) )
25		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5844	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) )
27		2cn 9308	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
28		2ap0 9330	. . . . . . 7 |- 2 # 0
29		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) = ( y e. CC |-> ( y / 2 ) )
30	29	divccncfap 15455	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 15456	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / 2 ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2310	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1407	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) + ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2305	1 |- cos e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1399   e. wcel 2203   A.wral 2520   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   o. ccom 4753   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   _ici 8129   + caddc 8130   x. cmul 8132   - cmin 8444   -ucneg 8445   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   abscabs 11682   expce 12328   cosccos 12331   MetOpencmopn 14689   Cn ccn 15050   tX ctx 15117   -cn->ccncf 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ico 10227  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-cos 12337  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522

This theorem is referenced by:  cosz12  15645  ioocosf1o  15719