Theorem negfcncf 15417

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	|- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	|- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 15388	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F : A --> CC )
2	1	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> CC ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
3	1	feqmptd 5708	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
4		eqidd 2232	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y ) )
5		negeq 8431	. . . 4 |- ( y = ( F ` x ) -> -u y = -u ( F ` x ) )
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5821	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) ) )
7		negfcncf.1	. . 3 |- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )
8	6, 7	eqtr4di 2282	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = G )
9		id 19	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )
10		ssid 3248	. . . 4 |- CC C_ CC
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y )
12	11	negcncf 15416	. . . 4 |- ( CC C_ CC -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	9, 13	cncfco 15402	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) e. ( A -cn-> CC ) )
15	8, 14	eqeltrrd 2309	1 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   -ucneg 8410   -cn->ccncf 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-cncf 15382

This theorem is referenced by:  ivthdec  15455