ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negfcncf Unicode version

Theorem negfcncf 14128
Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
negfcncf.1  |-  G  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( F `  x ) )
Assertion
Ref Expression
negfcncf  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  G  e.  ( A -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, A
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem negfcncf
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 14103 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
21ffvelcdmda 5653 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> CC )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
31feqmptd 5571 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) )
4 eqidd 2178 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( y  e.  CC  |->  -u y )  =  ( y  e.  CC  |->  -u y ) )
5 negeq 8152 . . . 4  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  -u y  =  -u ( F `  x ) )
62, 3, 4, 5fmptco 5684 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  -u y )  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  -u ( F `  x )
) )
7 negfcncf.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( F `  x ) )
86, 7eqtr4di 2228 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  -u y )  o.  F
)  =  G )
9 id 19 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F  e.  ( A -cn-> CC ) )
10 ssid 3177 . . . 4  |-  CC  C_  CC
11 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  |->  -u y
)  =  ( y  e.  CC  |->  -u y
)
1211negcncf 14127 . . . 4  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( y  e.  CC  |->  -u y )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1310, 12mp1i 10 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( y  e.  CC  |->  -u y )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
149, 13cncfco 14117 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  -u y )  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
158, 14eqeltrrd 2255 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  G  e.  ( A -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3131    |-> cmpt 4066    o. ccom 4632   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   -ucneg 8131   -cn->ccncf 14096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-cncf 14097
This theorem is referenced by:  ivthdec  14161
  Copyright terms: Public domain W3C validator