Theorem negfcncf 14128

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	|- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	|- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 14103	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F : A --> CC )
2	1	ffvelcdmda 5653	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> CC ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
3	1	feqmptd 5571	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
4		eqidd 2178	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y ) )
5		negeq 8152	. . . 4 |- ( y = ( F ` x ) -> -u y = -u ( F ` x ) )
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5684	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) ) )
7		negfcncf.1	. . 3 |- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )
8	6, 7	eqtr4di 2228	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = G )
9		id 19	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )
10		ssid 3177	. . . 4 |- CC C_ CC
11		eqid 2177	. . . . 5 |- ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y )
12	11	negcncf 14127	. . . 4 |- ( CC C_ CC -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	9, 13	cncfco 14117	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) e. ( A -cn-> CC ) )
15	8, 14	eqeltrrd 2255	1 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   |-> cmpt 4066   o. ccom 4632   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   -ucneg 8131   -cn->ccncf 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-cncf 14097

This theorem is referenced by:  ivthdec  14161