Theorem negfcncf 14785

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	|- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	|- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 14756	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F : A --> CC )
2	1	ffvelcdmda 5694	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> CC ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
3	1	feqmptd 5611	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
4		eqidd 2194	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y ) )
5		negeq 8214	. . . 4 |- ( y = ( F ` x ) -> -u y = -u ( F ` x ) )
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5725	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) ) )
7		negfcncf.1	. . 3 |- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )
8	6, 7	eqtr4di 2244	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = G )
9		id 19	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )
10		ssid 3200	. . . 4 |- CC C_ CC
11		eqid 2193	. . . . 5 |- ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y )
12	11	negcncf 14784	. . . 4 |- ( CC C_ CC -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	9, 13	cncfco 14770	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) e. ( A -cn-> CC ) )
15	8, 14	eqeltrrd 2271	1 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   |-> cmpt 4091   o. ccom 4664   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   -ucneg 8193   -cn->ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  ivthdec  14823