Theorem negfcncf 15320

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	|- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	|- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 15291	. . . . 5 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F : A --> CC )
2	1	ffvelcdmda 5778	. . . 4 |- ( ( F e. ( A -cn-> CC ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
3	1	feqmptd 5695	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
4		eqidd 2230	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y ) )
5		negeq 8362	. . . 4 |- ( y = ( F ` x ) -> -u y = -u ( F ` x ) )
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5809	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) ) )
7		negfcncf.1	. . 3 |- G = ( x e. A |-> -u ( F ` x ) )
8	6, 7	eqtr4di 2280	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) = G )
9		id 19	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )
10		ssid 3245	. . . 4 |- CC C_ CC
11		eqid 2229	. . . . 5 |- ( y e. CC |-> -u y ) = ( y e. CC |-> -u y )
12	11	negcncf 15319	. . . 4 |- ( CC C_ CC -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( y e. CC |-> -u y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	9, 13	cncfco 15305	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> -u y ) o. F ) e. ( A -cn-> CC ) )
15	8, 14	eqeltrrd 2307	1 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> G e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   |-> cmpt 4148   o. ccom 4727   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   -ucneg 8341   -cn->ccncf 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-2 9192  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-cncf 15285

This theorem is referenced by:  ivthdec  15358