Theorem sincn 15760

Description: Sine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sincn	|- sin e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem sincn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sin 12361	. 2 |- sin = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
2		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	subcncntop 15554	. . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> - e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 15759	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 8238	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 15580	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 15589	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8490	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 15580	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 15589	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 15590	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 15568	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5832	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) = ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) )
25		oveq1 6065	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5849	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) )
27		2mulicn 9477	. . . . . . 7 |- ( 2 x. _i ) e. CC
28		2muliap0 9479	. . . . . . 7 |- ( 2 x. _i ) # 0
29		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) = ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) )
30	29	divccncfap 15581	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 15582	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2312	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1407	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2307	1 |- sin e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1399   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   _ici 8145   x. cmul 8148   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   2c2 9305   abscabs 11707   expce 12353   sincsin 12355   MetOpencmopn 14815   Cn ccn 15176   tX ctx 15243   -cn->ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by: (None)