Theorem sincn 13857

Description: Sine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sincn	|- sin e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem sincn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sin 11642	. 2 |- sin = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
2		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	subcncntop 13720	. . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> - e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 13856	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 7897	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 13743	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 13751	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8148	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 13743	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 13751	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 13752	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 13731	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5662	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) = ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) )
25		oveq1 5876	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5679	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) )
27		2mulicn 9130	. . . . . . 7 |- ( 2 x. _i ) e. CC
28		2muliap0 9132	. . . . . . 7 |- ( 2 x. _i ) # 0
29		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) = ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) )
30	29	divccncfap 13744	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 13745	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1362	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2250	1 |- sin e. ( CC -cn-> CC )

Syntax hints:   T. wtru 1354   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   o. ccom 4627   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   _ici 7804   x. cmul 7807   - cmin 8118   -ucneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618   2c2 8959   abscabs 10990   expce 11634   sincsin 11636   MetOpencmopn 13152   Cn ccn 13352   tX ctx 13419   -cn->ccncf 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-addf 7924  ax-mulf 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793

This theorem is referenced by: (None)