ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincn Unicode version

Theorem sincn 13101
Description: Sine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
sincn  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem sincn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sin 11547 . 2  |-  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
2 eqid 2157 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
32subcncntop 12964 . . . . . . . . 9  |-  -  e.  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  tX  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) )  Cn  ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) ) )
43a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -  e.  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  tX  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) ) )
5 efcn 13100 . . . . . . . . . 10  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
65a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
7 ax-icn 7827 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
8 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
98mulc1cncf 12987 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
107, 9mp1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
116, 10cncfmpt1f 12995 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
12 negicn 8076 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
13 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  x ) )
1413mulc1cncf 12987 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1512, 14mp1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
166, 15cncfmpt1f 12995 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
172, 4, 11, 16cncfmpt2fcntop 12996 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
18 cncff 12975 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) : CC --> CC )
1917, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) : CC --> CC )
20 eqid 2157 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )
2120fmpt 5617 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  CC  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC  <->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) : CC --> CC )
2219, 21sylibr 133 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. x  e.  CC  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
23 eqidd 2158 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) )
24 eqidd 2158 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  (
2  x.  _i ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  ( 2  x.  _i ) ) ) )
25 oveq1 5831 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  ->  ( y  / 
( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
2622, 23, 24, 25fmptcof 5634 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y  / 
( 2  x.  _i ) ) )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) ) )
27 2mulicn 9055 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
28 2muliap0 9057 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  _i ) #  0
29 eqid 2157 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  ( 2  x.  _i ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  / 
( 2  x.  _i ) ) )
3029divccncfap 12988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i ) #  0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y  /  ( 2  x.  _i ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3127, 28, 30mp2an 423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  ( 2  x.  _i ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
3231a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  (
2  x.  _i ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3317, 32cncfco 12989 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y  / 
( 2  x.  _i ) ) )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3426, 33eqeltrrd 2235 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3534mptru 1344 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
361, 35eqeltri 2230 1  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   T. wtru 1336    e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3965    |-> cmpt 4025    o. ccom 4590   -->wf 5166   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732   _ici 7734    x. cmul 7737    - cmin 8046   -ucneg 8047   # cap 8456    / cdiv 8545   2c2 8884   abscabs 10897   expce 11539   sincsin 11541   MetOpencmopn 12396    Cn ccn 12596    tX ctx 12663   -cn->ccncf 12968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852  ax-addf 7854  ax-mulf 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-of 6032  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-map 6595  df-pm 6596  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-ico 9798  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-fac 10600  df-bc 10622  df-ihash 10650  df-shft 10715  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251  df-ef 11545  df-sin 11547  df-rest 12364  df-topgen 12383  df-psmet 12398  df-xmet 12399  df-met 12400  df-bl 12401  df-mopn 12402  df-top 12407  df-topon 12420  df-bases 12452  df-ntr 12507  df-cn 12599  df-cnp 12600  df-tx 12664  df-cncf 12969  df-limced 13036  df-dvap 13037
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator