Theorem sincn 15995

Description: Sine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sincn	|- sin e. ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem sincn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sin 12442	. 2 |- sin = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
2		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3	2	subcncntop 15789	. . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) )
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> - e. ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) tX ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
5		efcn 15994	. . . . . . . . . 10 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
7		ax-icn 8280	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
8		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
9	8	mulc1cncf 15815	. . . . . . . . . 10 |- ( _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
10	7, 9	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11	6, 10	cncfmpt1f 15824	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
12		negicn 8534	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
13		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) )
14	13	mulc1cncf 15815	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i e. CC -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15	12, 14	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( -u _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	6, 15	cncfmpt1f 15824	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2fcntop 15825	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
18		cncff 15803	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
20		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) )
21	20	fmpt 5861	. . . . . 6 |- ( A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC <-> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) : CC --> CC )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. CC ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) e. CC )
23		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) )
24		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) = ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) )
25		oveq1 6095	. . . . 5 |- ( y = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) -> ( y / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 5878	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) )
27		2mulicn 9538	. . . . . . 7 |- ( 2 x. _i ) e. CC
28		2muliap0 9540	. . . . . . 7 |- ( 2 x. _i ) # 0
29		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) = ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) )
30	29	divccncfap 15816	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
31	27, 28, 30	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
33	17, 32	cncfco 15817	. . . 4 |- ( T. -> ( ( y e. CC |-> ( y / ( 2 x. _i ) ) ) o. ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	26, 33	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	34	mptru 1411	. 2 |- ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) ) e. ( CC -cn-> CC )
36	1, 35	eqeltri 2311	1 |- sin e. ( CC -cn-> CC )

This proof depends on syntax axioms:   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   o. ccom 4780   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   0cc0 8185   _ici 8187   x. cmul 8190   - cmin 8504   -ucneg 8505   # cap 8917   / cdiv 9010   2c2 9364   abscabs 11785   expce 12434   sincsin 12436   MetOpencmopn 14987   Cn ccn 15411   tX ctx 15478   -cn->ccncf 15796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-sin 12442  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797  df-limced 15882  df-dvap 15883

This theorem is used by: (None)