ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmptlimc Unicode version

Theorem cnmptlimc 13085
Description: If  F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptlimc.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
cnmptlimc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
cnmptlimc.1  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptlimc  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    X( x)

Proof of Theorem cnmptlimc
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  X )  =  ( x  e.  A  |->  X )
2 cnmptlimc.1 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
3 cnmptlimc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
42eleq1d 2226 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( X  e.  D  <->  Y  e.  D ) )
5 cnmptlimc.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
6 cncff 13006 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A
-cn-> D )  ->  (
x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
75, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
81fmpt 5618 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  X  e.  D  <->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
97, 8sylibr 133 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X  e.  D )
104, 9, 3rspcdva 2821 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
111, 2, 3, 10fvmptd3 5562 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
125, 3cnlimci 13084 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B
) )
1311, 12eqeltrrd 2235 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435    |-> cmpt 4026   -->wf 5167   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   -cn->ccncf 12999   lim CC climc 13065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-map 6596  df-pm 6597  df-sup 6929  df-inf 6930  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-xneg 9680  df-xadd 9681  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-rest 12395  df-topgen 12414  df-psmet 12429  df-xmet 12430  df-met 12431  df-bl 12432  df-mopn 12433  df-top 12438  df-topon 12451  df-bases 12483  df-cn 12630  df-cnp 12631  df-cncf 13000  df-limced 13067
This theorem is referenced by:  dvidlemap  13102  dvcnp2cntop  13105  dvmulxxbr  13108  dvrecap  13119
  Copyright terms: Public domain W3C validator