ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdc Unicode version
Theorem prmdc 12932
Description: Primality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
prmdc |- ( N e. NN -> DECID N e. Prime )
Proof of Theorem prmdc
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nuz2 10021 . . . . . . 7 |- -. 1 e. ( ZZ>= ` 2 )
2 eleq1 2301 . . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 1 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
31, 2mtbiri 686 . . . . . 6 |- ( N = 1 -> -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
43orim1i 772 . . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
54orcomd 741 . . . 4 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6 elnn1uz2 10022 . . . 4 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7 df-dc 847 . . . 4 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
85, 6, 73imtr4i 201 . . 3 |- ( N e. NN -> DECID N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9 2z 9681 . . . . . 6 |- 2 e. ZZ
109a1i 9 . . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
11 nnz 9672 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12 peano2zm 9691 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
1311, 12syl 14 . . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
1410, 13fzfigd 10888 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
15 elfzelz 10444 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -> x e. ZZ )
1615adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
17 1red 8347 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
18 2re 9383 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
1918a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
2016zred 9778 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. RR )
21 1le2 9524 . . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 2
2221a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ 2 )
23 elfzle1 10447 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -> 2 <_ x )
2423adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 <_ x )
2517, 19, 20, 22, 24letrd 8457 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ x )
26 elnnz1 9676 . . . . . . . 8 |- ( x e. NN <-> ( x e. ZZ /\ 1 <_ x ) )
2716, 25, 26sylanbrc 421 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
2811adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
29 dvdsdc 12589 . . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID x || N )
3027, 28, 29syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID x || N )
31 dcn 854 . . . . . 6 |- (DECID x || N -> DECID -. x || N )
3230, 31syl 14 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID -. x || N )
3332ralrimiva 2623 . . . 4 |- ( N e. NN -> A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) )DECID -. x || N )
34 dcfi 7320 . . . 4 |- ( ( ( 2 ... ( N - 1 ) ) e. Fin /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) )DECID -. x || N ) -> DECID A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N )
3514, 33, 34syl2anc 415 . . 3 |- ( N e. NN -> DECID A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N )
368, 35dcand 945 . 2 |- ( N e. NN -> DECID ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N ) )
37 isprm3 12920 . . 3 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N ) )
3837dcbii 852 . 2 |- (DECID N e. Prime <-> DECID ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N ) )
3936, 38sylibr 134 1 |- ( N e. NN -> DECID N e. Prime )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7028   RRcr 8184   1c1 8186   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   2c2 9364   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936   ...cfz 10427   || cdvds 12578   Primecprime 12909
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-2o 6693  df-er 6812  df-en 7029  df-fin 7031  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-q 10035  df-rp 10071  df-fz 10428  df-fl 10721  df-mod 10780  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-dvds 12579  df-prm 12910
This theorem is used by:  prmdcz  12933  pcmptcl  13149  pcmpt  13150  1arith  13174  prminf  13403  ppiqfi  16259  prmdvdsfi  16260  prmorcht  16299  bposlem5  16332  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsfcl2  16347  lgsval2lem  16351  lgsval4lem  16352  lgsneg  16365  lgsmod  16367  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsdi  16378  lgsne0  16379
  Copyright terms: Public domain W3C validator