ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdc Unicode version
Theorem prmdc 12692
Description: Primality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
prmdc |- ( N e. NN -> DECID N e. Prime )
Proof of Theorem prmdc
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nuz2 9830 . . . . . . 7 |- -. 1 e. ( ZZ>= ` 2 )
2 eleq1 2292 . . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 1 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
31, 2mtbiri 679 . . . . . 6 |- ( N = 1 -> -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
43orim1i 765 . . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
54orcomd 734 . . . 4 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6 elnn1uz2 9831 . . . 4 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7 df-dc 840 . . . 4 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
85, 6, 73imtr4i 201 . . 3 |- ( N e. NN -> DECID N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9 2z 9497 . . . . . 6 |- 2 e. ZZ
109a1i 9 . . . . 5 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
11 nnz 9488 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12 peano2zm 9507 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
1311, 12syl 14 . . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
1410, 13fzfigd 10683 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
15 elfzelz 10250 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -> x e. ZZ )
1615adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
17 1red 8184 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
18 2re 9203 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
1918a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
2016zred 9592 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. RR )
21 1le2 9342 . . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 2
2221a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ 2 )
23 elfzle1 10252 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -> 2 <_ x )
2423adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 <_ x )
2517, 19, 20, 22, 24letrd 8293 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ x )
26 elnnz1 9492 . . . . . . . 8 |- ( x e. NN <-> ( x e. ZZ /\ 1 <_ x ) )
2716, 25, 26sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
2811adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
29 dvdsdc 12349 . . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID x || N )
3027, 28, 29syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID x || N )
31 dcn 847 . . . . . 6 |- (DECID x || N -> DECID -. x || N )
3230, 31syl 14 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID -. x || N )
3332ralrimiva 2603 . . . 4 |- ( N e. NN -> A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) )DECID -. x || N )
34 dcfi 7171 . . . 4 |- ( ( ( 2 ... ( N - 1 ) ) e. Fin /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) )DECID -. x || N ) -> DECID A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N )
3514, 33, 34syl2anc 411 . . 3 |- ( N e. NN -> DECID A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N )
368, 35dcand 938 . 2 |- ( N e. NN -> DECID ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N ) )
37 isprm3 12680 . . 3 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N ) )
3837dcbii 845 . 2 |- (DECID N e. Prime <-> DECID ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -. x || N ) )
3936, 38sylibr 134 1 |- ( N e. NN -> DECID N e. Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   RRcr 8021   1c1 8023   <_ cle 8205   - cmin 8340   NNcn 9133   2c2 9184   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233   || cdvds 12338   Primecprime 12669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-prm 12670
This theorem is referenced by:  pcmptcl  12905  pcmpt  12906  1arith  12930  prminf  13066  lgsval  15723  lgsfvalg  15724  lgsfcl2  15725  lgsval2lem  15729  lgsval4lem  15730  lgsneg  15743  lgsmod  15745  lgsdir  15754  lgsdilem2  15755  lgsdi  15756  lgsne0  15757
  Copyright terms: Public domain W3C validator