Theorem dfdm4 4923

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2805	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4913	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1653	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2347	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4918	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4735	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2263	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1397  ∃wex 1540  {cab 2217   class class class wbr 4088  ^◡ccnv 4724  dom cdm 4725  ran crn 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4956  rncnvcnv  4957  rncoeq  5006  cnvimass  5099  cnvimarndm  5100  dminxp  5181  cnvsn0  5205  rnsnopg  5215  dmmpt  5232  dmco  5245  cores2  5249  cnvssrndm  5258  cocnvres  5261  unidmrn  5269  dfdm2  5271  cnvexg  5274  funimacnv  5406  foimacnv  5601  funcocnv2  5608  fimacnv  5776  f1opw2  6228  fopwdom  7021  sbthlemi4  7158  exmidfodomrlemim  7411  hmeores  15038