Theorem dfdm4 4816

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2740	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2740	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4807	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2293	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4812	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4634	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2209	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1353  ∃wex 1492  {cab 2163   class class class wbr 4001  ^◡ccnv 4623  dom cdm 4624  ran crn 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4002  df-opab 4063  df-cnv 4632  df-dm 4634  df-rn 4635

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4848  rncnvcnv  4849  rncoeq  4897  cnvimass  4988  cnvimarndm  4989  dminxp  5070  cnvsn0  5094  rnsnopg  5104  dmmpt  5121  dmco  5134  cores2  5138  cnvssrndm  5147  cocnvres  5150  unidmrn  5158  dfdm2  5160  cnvexg  5163  funimacnv  5289  foimacnv  5476  funcocnv2  5483  fimacnv  5642  f1opw2  6072  fopwdom  6831  sbthlemi4  6954  exmidfodomrlemim  7195  hmeores  13597