Theorem dfdm4 4854

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2763	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4845	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1616	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2309	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4850	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4669	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2225	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1364  ∃wex 1503  {cab 2179   class class class wbr 4029  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659  ran crn 4660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4886  rncnvcnv  4887  rncoeq  4935  cnvimass  5028  cnvimarndm  5029  dminxp  5110  cnvsn0  5134  rnsnopg  5144  dmmpt  5161  dmco  5174  cores2  5178  cnvssrndm  5187  cocnvres  5190  unidmrn  5198  dfdm2  5200  cnvexg  5203  funimacnv  5330  foimacnv  5518  funcocnv2  5525  fimacnv  5687  f1opw2  6124  fopwdom  6892  sbthlemi4  7019  exmidfodomrlemim  7261  hmeores  14483