Theorem dfdm4 4929

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2806	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4919	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1654	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2347	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4924	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4741	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2263	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1398  ∃wex 1541  {cab 2217   class class class wbr 4093  ^◡ccnv 4730  dom cdm 4731  ran crn 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4962  rncnvcnv  4963  rncoeq  5012  cnvimass  5106  cnvimarndm  5107  dminxp  5188  cnvsn0  5212  rnsnopg  5222  dmmpt  5239  dmco  5252  cores2  5256  cnvssrndm  5265  cocnvres  5268  unidmrn  5276  dfdm2  5278  cnvexg  5281  funimacnv  5413  foimacnv  5610  funcocnv2  5617  fimacnv  5784  f1opw2  6239  fopwdom  7065  sbthlemi4  7202  exmidfodomrlemim  7455  hmeores  15109