Theorem dfdm4 4790

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2724	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2724	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4781	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1592	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2280	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4786	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4608	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2196	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1342  ∃wex 1479  {cab 2150   class class class wbr 3976  ^◡ccnv 4597  dom cdm 4598  ran crn 4599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4822  rncnvcnv  4823  rncoeq  4871  cnvimass  4961  cnvimarndm  4962  dminxp  5042  cnvsn0  5066  rnsnopg  5076  dmmpt  5093  dmco  5106  cores2  5110  cnvssrndm  5119  cocnvres  5122  unidmrn  5130  dfdm2  5132  cnvexg  5135  funimacnv  5258  foimacnv  5444  funcocnv2  5451  fimacnv  5608  f1opw2  6038  fopwdom  6793  sbthlemi4  6916  exmidfodomrlemim  7148  hmeores  12856