Theorem dfdm4 4975

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4965	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2354	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4970	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4786	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2270	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ∃wex 1545  {cab 2224   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775  dom cdm 4776  ran crn 4777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787

This theorem is used by:  dmcnvcnv  5008  rncnvcnv  5009  rncoeq  5058  cnvimass  5153  cnvimarndm  5154  dminxp  5235  cnvsn0  5259  rnsnopg  5269  dmmpt  5286  dmco  5299  cores2  5303  cnvssrndm  5312  cocnvres  5315  unidmrn  5323  dfdm2  5325  cnvexg  5328  funimacnv  5460  foimacnv  5660  funcocnv2  5667  fimacnv  5840  f1opw2  6299  fopwdom  7140  sbthlemi4  7282  exmidfodomrlemim  7559  hmeores  15541