Theorem dfdm4 4921

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2803	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4911	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2345	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4916	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4733	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2261	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1395  ∃wex 1538  {cab 2215   class class class wbr 4086  ^◡ccnv 4722  dom cdm 4723  ran crn 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4954  rncnvcnv  4955  rncoeq  5004  cnvimass  5097  cnvimarndm  5098  dminxp  5179  cnvsn0  5203  rnsnopg  5213  dmmpt  5230  dmco  5243  cores2  5247  cnvssrndm  5256  cocnvres  5259  unidmrn  5267  dfdm2  5269  cnvexg  5272  funimacnv  5403  foimacnv  5598  funcocnv2  5605  fimacnv  5772  f1opw2  6224  fopwdom  7017  sbthlemi4  7150  exmidfodomrlemim  7402  hmeores  15029