Theorem dfdm4 4859

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4850	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1619	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2312	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4855	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4674	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2228	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1364  ∃wex 1506  {cab 2182   class class class wbr 4034  ^◡ccnv 4663  dom cdm 4664  ran crn 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4891  rncnvcnv  4892  rncoeq  4940  cnvimass  5033  cnvimarndm  5034  dminxp  5115  cnvsn0  5139  rnsnopg  5149  dmmpt  5166  dmco  5179  cores2  5183  cnvssrndm  5192  cocnvres  5195  unidmrn  5203  dfdm2  5205  cnvexg  5208  funimacnv  5335  foimacnv  5525  funcocnv2  5532  fimacnv  5694  f1opw2  6133  fopwdom  6906  sbthlemi4  7035  exmidfodomrlemim  7280  hmeores  14635