Theorem dfdm4 4948

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2816	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 4938	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1654	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2348	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 4943	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 4759	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2264	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1398  ∃wex 1541  {cab 2218   class class class wbr 4109  ^◡ccnv 4748  dom cdm 4749  ran crn 4750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4981  rncnvcnv  4982  rncoeq  5031  cnvimass  5125  cnvimarndm  5126  dminxp  5207  cnvsn0  5231  rnsnopg  5241  dmmpt  5258  dmco  5271  cores2  5275  cnvssrndm  5284  cocnvres  5287  unidmrn  5295  dfdm2  5297  cnvexg  5300  funimacnv  5432  foimacnv  5632  funcocnv2  5639  fimacnv  5806  f1opw2  6261  fopwdom  7089  sbthlemi4  7230  exmidfodomrlemim  7504  hmeores  15180