ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dju1p1e2 GIF version

Theorem dju1p1e2 7189
Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
dju1p1e2 (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2
StepHypRef Expression
1 djuun 7059 . 2 ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2 djuin 7056 . . 3 ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3 djulf1o 7050 . . . . . . . 8 inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4 f1of1 5455 . . . . . . . 8 (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 inl:V–1-1→({∅} × V)
6 ssv 3177 . . . . . . 7 1o ⊆ V
7 f1ores 5471 . . . . . . 7 ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o1-1-onto→(inl “ 1o))
85, 6, 7mp2an 426 . . . . . 6 (inl ↾ 1o):1o1-1-onto→(inl “ 1o)
9 1oex 6418 . . . . . . 7 1o ∈ V
109f1oen 6752 . . . . . 6 ((inl ↾ 1o):1o1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 1o ≈ (inl “ 1o)
1211ensymi 6775 . . . 4 (inl “ 1o) ≈ 1o
13 djurf1o 7051 . . . . . . . 8 inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14 f1of1 5455 . . . . . . . 8 (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 inr:V–1-1→({1o} × V)
16 f1ores 5471 . . . . . . 7 ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o1-1-onto→(inr “ 1o))
1715, 6, 16mp2an 426 . . . . . 6 (inr ↾ 1o):1o1-1-onto→(inr “ 1o)
189f1oen 6752 . . . . . 6 ((inr ↾ 1o):1o1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 1o ≈ (inr “ 1o)
2019ensymi 6775 . . . 4 (inr “ 1o) ≈ 1o
21 pm54.43 7182 . . . 4 (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
2212, 20, 21mp2an 426 . . 3 (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
232, 22mpbi 145 . 2 ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
241, 23eqbrtrri 4023 1 (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1353  Vcvv 2737  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4620  cres 4624  cima 4625  1-1wf1 5208  1-1-ontowf1o 5210  1oc1o 6403  2oc2o 6404  cen 6731  cdju 7029  inlcinl 7037  inrcinr 7038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-1o 6410  df-2o 6411  df-er 6528  df-en 6734  df-dju 7030  df-inl 7039  df-inr 7040
This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7194  exmidfodomrlemrALT  7195
  Copyright terms: Public domain W3C validator