Theorem dju1p1e2 7468

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7326	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2		djuin 7323	. . 3 ⊢ ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3		djulf1o 7317	. . . . . . . 8 ⊢ inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4		f1of1 5591	. . . . . . . 8 ⊢ (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inl:V–1-1→({∅} × V)
6		ssv 3250	. . . . . . 7 ⊢ 1o ⊆ V
7		f1ores 5607	. . . . . . 7 ⊢ ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o)
9		1oex 6633	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10	9	f1oen 6975	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inl “ 1o)
12	11	ensymi 6999	. . . 4 ⊢ (inl “ 1o) ≈ 1o
13		djurf1o 7318	. . . . . . . 8 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14		f1of1 5591	. . . . . . . 8 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
16		f1ores 5607	. . . . . . 7 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o))
17	15, 6, 16	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o)
18	9	f1oen 6975	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inr “ 1o)
20	19	ensymi 6999	. . . 4 ⊢ (inr “ 1o) ≈ 1o
21		pm54.43 7455	. . . 4 ⊢ (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
22	12, 20, 21	mp2an 426	. . 3 ⊢ (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
23	2, 22	mpbi 145	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 4116	1 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398  Vcvv 2803   ∪ cun 3199   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673   class class class wbr 4093   × cxp 4729   ↾ cres 4733   “ cima 4734  –1-1→wf1 5330  –1-1-onto→wf1o 5332  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950   ⊔ cdju 7296  inlcinl 7304  inrcinr 7305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dju 7297  df-inl 7306  df-inr 7307

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7473  exmidfodomrlemrALT  7474