Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dju1p1e2 GIF version

Theorem dju1p1e2 7069
 Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
dju1p1e2 (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2
StepHypRef Expression
1 djuun 6959 . 2 ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2 djuin 6956 . . 3 ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3 djulf1o 6950 . . . . . . . 8 inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4 f1of1 5373 . . . . . . . 8 (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 inl:V–1-1→({∅} × V)
6 ssv 3123 . . . . . . 7 1o ⊆ V
7 f1ores 5389 . . . . . . 7 ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o1-1-onto→(inl “ 1o))
85, 6, 7mp2an 423 . . . . . 6 (inl ↾ 1o):1o1-1-onto→(inl “ 1o)
9 1oex 6328 . . . . . . 7 1o ∈ V
109f1oen 6660 . . . . . 6 ((inl ↾ 1o):1o1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 1o ≈ (inl “ 1o)
1211ensymi 6683 . . . 4 (inl “ 1o) ≈ 1o
13 djurf1o 6951 . . . . . . . 8 inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14 f1of1 5373 . . . . . . . 8 (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 inr:V–1-1→({1o} × V)
16 f1ores 5389 . . . . . . 7 ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o1-1-onto→(inr “ 1o))
1715, 6, 16mp2an 423 . . . . . 6 (inr ↾ 1o):1o1-1-onto→(inr “ 1o)
189f1oen 6660 . . . . . 6 ((inr ↾ 1o):1o1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 1o ≈ (inr “ 1o)
2019ensymi 6683 . . . 4 (inr “ 1o) ≈ 1o
21 pm54.43 7062 . . . 4 (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
2212, 20, 21mp2an 423 . . 3 (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
232, 22mpbi 144 . 2 ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
241, 23eqbrtrri 3958 1 (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1332  Vcvv 2689   ∪ cun 3073   ∩ cin 3074   ⊆ wss 3075  ∅c0 3367  {csn 3531   class class class wbr 3936   × cxp 4544   ↾ cres 4548   “ cima 4549  –1-1→wf1 5127  –1-1-onto→wf1o 5129  1oc1o 6313  2oc2o 6314   ≈ cen 6639   ⊔ cdju 6929  inlcinl 6937  inrcinr 6938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-2o 6321  df-er 6436  df-en 6642  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940 This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7074  exmidfodomrlemrALT  7075
 Copyright terms: Public domain W3C validator