Theorem dju1p1e2 7144

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7023	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2		djuin 7020	. . 3 ⊢ ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3		djulf1o 7014	. . . . . . . 8 ⊢ inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4		f1of1 5425	. . . . . . . 8 ⊢ (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inl:V–1-1→({∅} × V)
6		ssv 3159	. . . . . . 7 ⊢ 1o ⊆ V
7		f1ores 5441	. . . . . . 7 ⊢ ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o)
9		1oex 6383	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10	9	f1oen 6716	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inl “ 1o)
12	11	ensymi 6739	. . . 4 ⊢ (inl “ 1o) ≈ 1o
13		djurf1o 7015	. . . . . . . 8 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14		f1of1 5425	. . . . . . . 8 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
16		f1ores 5441	. . . . . . 7 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o))
17	15, 6, 16	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o)
18	9	f1oen 6716	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inr “ 1o)
20	19	ensymi 6739	. . . 4 ⊢ (inr “ 1o) ≈ 1o
21		pm54.43 7137	. . . 4 ⊢ (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
22	12, 20, 21	mp2an 423	. . 3 ⊢ (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
23	2, 22	mpbi 144	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 3999	1 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1342  Vcvv 2721   ∪ cun 3109   ∩ cin 3110   ⊆ wss 3111  ∅c0 3404  {csn 3570   class class class wbr 3976   × cxp 4596   ↾ cres 4600   “ cima 4601  –1-1→wf1 5179  –1-1-onto→wf1o 5181  1_oc1o 6368  2_oc2o 6369   ≈ cen 6695   ⊔ cdju 6993  inlcinl 7001  inrcinr 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-en 6698  df-dju 6994  df-inl 7003  df-inr 7004

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7149  exmidfodomrlemrALT  7150