Theorem dju1p1e2 7375

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7234	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2		djuin 7231	. . 3 ⊢ ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3		djulf1o 7225	. . . . . . . 8 ⊢ inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4		f1of1 5571	. . . . . . . 8 ⊢ (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inl:V–1-1→({∅} × V)
6		ssv 3246	. . . . . . 7 ⊢ 1o ⊆ V
7		f1ores 5587	. . . . . . 7 ⊢ ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o)
9		1oex 6570	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10	9	f1oen 6910	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inl “ 1o)
12	11	ensymi 6934	. . . 4 ⊢ (inl “ 1o) ≈ 1o
13		djurf1o 7226	. . . . . . . 8 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14		f1of1 5571	. . . . . . . 8 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
16		f1ores 5587	. . . . . . 7 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o))
17	15, 6, 16	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o)
18	9	f1oen 6910	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inr “ 1o)
20	19	ensymi 6934	. . . 4 ⊢ (inr “ 1o) ≈ 1o
21		pm54.43 7363	. . . 4 ⊢ (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
22	12, 20, 21	mp2an 426	. . 3 ⊢ (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
23	2, 22	mpbi 145	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 4106	1 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395  Vcvv 2799   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4717   ↾ cres 4721   “ cima 4722  –1-1→wf1 5315  –1-1-onto→wf1o 5317  1_oc1o 6555  2_oc2o 6556   ≈ cen 6885   ⊔ cdju 7204  inlcinl 7212  inrcinr 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888  df-dju 7205  df-inl 7214  df-inr 7215

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7380  exmidfodomrlemrALT  7381