Theorem dju1p1e2 7198

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 7068	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2		djuin 7065	. . 3 ⊢ ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3		djulf1o 7059	. . . . . . . 8 ⊢ inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4		f1of1 5462	. . . . . . . 8 ⊢ (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inl:V–1-1→({∅} × V)
6		ssv 3179	. . . . . . 7 ⊢ 1o ⊆ V
7		f1ores 5478	. . . . . . 7 ⊢ ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o)
9		1oex 6427	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10	9	f1oen 6761	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inl “ 1o)
12	11	ensymi 6784	. . . 4 ⊢ (inl “ 1o) ≈ 1o
13		djurf1o 7060	. . . . . . . 8 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14		f1of1 5462	. . . . . . . 8 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
16		f1ores 5478	. . . . . . 7 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o))
17	15, 6, 16	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o)
18	9	f1oen 6761	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inr “ 1o)
20	19	ensymi 6784	. . . 4 ⊢ (inr “ 1o) ≈ 1o
21		pm54.43 7191	. . . 4 ⊢ (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
22	12, 20, 21	mp2an 426	. . 3 ⊢ (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
23	2, 22	mpbi 145	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 4028	1 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353  Vcvv 2739   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  {csn 3594   class class class wbr 4005   × cxp 4626   ↾ cres 4630   “ cima 4631  –1-1→wf1 5215  –1-1-onto→wf1o 5217  1_oc1o 6412  2_oc2o 6413   ≈ cen 6740   ⊔ cdju 7038  inlcinl 7046  inrcinr 7047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7203  exmidfodomrlemrALT  7204