Theorem dju1p1e2 7001

Description: Disjoint union version of one plus one equals two. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dju1p1e2	⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Proof of Theorem dju1p1e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuun 6904	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) = (1o ⊔ 1o)
2		djuin 6901	. . 3 ⊢ ((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅
3		djulf1o 6895	. . . . . . . 8 ⊢ inl:V–1-1-onto→({∅} × V)
4		f1of1 5322	. . . . . . . 8 ⊢ (inl:V–1-1-onto→({∅} × V) → inl:V–1-1→({∅} × V))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ inl:V–1-1→({∅} × V)
6		ssv 3085	. . . . . . 7 ⊢ 1o ⊆ V
7		f1ores 5338	. . . . . . 7 ⊢ ((inl:V–1-1→({∅} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 420	. . . . . 6 ⊢ (inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o)
9		1oex 6275	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10	9	f1oen 6607	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inl “ 1o) → 1o ≈ (inl “ 1o))
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inl “ 1o)
12	11	ensymi 6630	. . . 4 ⊢ (inl “ 1o) ≈ 1o
13		djurf1o 6896	. . . . . . . 8 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
14		f1of1 5322	. . . . . . . 8 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → inr:V–1-1→({1o} × V))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ inr:V–1-1→({1o} × V)
16		f1ores 5338	. . . . . . 7 ⊢ ((inr:V–1-1→({1o} × V) ∧ 1o ⊆ V) → (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o))
17	15, 6, 16	mp2an 420	. . . . . 6 ⊢ (inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o)
18	9	f1oen 6607	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 1o):1o–1-1-onto→(inr “ 1o) → 1o ≈ (inr “ 1o))
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ 1o ≈ (inr “ 1o)
20	19	ensymi 6630	. . . 4 ⊢ (inr “ 1o) ≈ 1o
21		pm54.43 6996	. . . 4 ⊢ (((inl “ 1o) ≈ 1o ∧ (inr “ 1o) ≈ 1o) → (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o))
22	12, 20, 21	mp2an 420	. . 3 ⊢ (((inl “ 1o) ∩ (inr “ 1o)) = ∅ ↔ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o)
23	2, 22	mpbi 144	. 2 ⊢ ((inl “ 1o) ∪ (inr “ 1o)) ≈ 2o
24	1, 23	eqbrtrri 3916	1 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1314  Vcvv 2657   ∪ cun 3035   ∩ cin 3036   ⊆ wss 3037  ∅c0 3329  {csn 3493   class class class wbr 3895   × cxp 4497   ↾ cres 4501   “ cima 4502  –1-1→wf1 5078  –1-1-onto→wf1o 5080  1_oc1o 6260  2_oc2o 6261   ≈ cen 6586   ⊔ cdju 6874  inlcinl 6882  inrcinr 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-en 6589  df-dju 6875  df-inl 6884  df-inr 6885

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7006  exmidfodomrlemrALT  7007