ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpdsg Unicode version

Theorem mgpdsg 13182
Description: Distance function of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpds.2  |-  B  =  ( dist `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpdsg  |-  ( R  e.  V  ->  B  =  ( dist `  M
) )

Proof of Theorem mgpdsg
StepHypRef Expression
1 mgpds.2 . 2  |-  B  =  ( dist `  R
)
2 mulrslid 12605 . . . . 5  |-  ( .r  = Slot  ( .r `  ndx )  /\  ( .r `  ndx )  e.  NN )
32slotex 12503 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  ( .r `  R )  e. 
_V )
4 dsslid 12686 . . . . 5  |-  ( dist 
= Slot  ( dist `  ndx )  /\  ( dist `  ndx )  e.  NN )
5 dsndxnplusgndx 12690 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
6 plusgslid 12586 . . . . . 6  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
76simpri 113 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
84, 5, 7setsslnid 12528 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( .r `  R )  e.  _V )  -> 
( dist `  R )  =  ( dist `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
) )
93, 8mpdan 421 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
) )
10 mgpbas.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
11 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1210, 11mgpvalg 13175 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
1312fveq2d 5531 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( dist `  M )  =  ( dist `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
) )
149, 13eqtr4d 2223 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  M
) )
151, 14eqtrid 2232 1  |-  ( R  e.  V  ->  B  =  ( dist `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1363    e. wcel 2158   _Vcvv 2749   <.cop 3607   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   NNcn 8933   ndxcnx 12473   sSet csts 12474  Slot cslot 12475   +g cplusg 12551   .rcmulr 12552   distcds 12560  mulGrpcmgp 13172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-dec 9399  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-ds 12573  df-mgp 13173
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator