Theorem dsslid 12555

Description: Slot property of dist. (Contributed by Jim Kingdon, 6-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dsslid	⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dsslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ds 12479	. 2 ⊢ dist = Slot ;12
2		1nn0 9130	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn 9018	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 9341	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
5	1, 4	ndxslid 12419	1 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5188  1c1 7754  ℕcn 8857  2c2 8908  ;cdc 9322  ndxcnx 12391  Slot cslot 12393  distcds 12466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-dec 9323  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-ds 12479

This theorem is referenced by:  setsmsdsg  13120