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Theorem bezoutlemstep 12011
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
bezoutlemstep.a  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
bezoutlemstep.b  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
bezoutlemstep.hyp  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
bezoutlemstep.thx  |-  F/ x th
bezoutlemstep.thr  |-  F/ r th
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    A, r, s, t    B, r, s, t    W, r, x, y, z    W, s, t, y    ph, z    ph, s, t    ps, z    th, z    th, s, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, r)    ps( x, y, t, s, r)    th( x, y, r)    A( x, y, z)    B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
2 bezoutlemstep.a . . . 4  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
3 bezoutlemstep.b . . . 4  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
4 bezoutlemstep.w . . . 4  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 12010 . . 3  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
9 bezoutlemstep.hyp . . 3  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
108, 9mpdan 421 . 2  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
11 bezoutlemstep.thr . . 3  |-  F/ r th
12 eqidd 2188 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  =  ( y  mod  W ) )
136nn0zd 9386 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  e.  ZZ )
1413ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  ZZ )
154ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  NN )
1613, 4zmodcld 10358 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( y  mod  W
)  e.  NN0 )
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  e.  NN0 )
18 zq 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  QQ )
2015nnzd 9387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  ZZ )
21 zq 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  ZZ  ->  W  e.  QQ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  QQ )
2315nngt0d 8976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  0  <  W
)
24 modqlt 10346 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  W  e.  QQ  /\  0  <  W )  ->  (
y  mod  W )  <  W )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  <  W
)
26 modremain 11947 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  ( (
y  mod  W )  =  ( y  mod 
W )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y ) )
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1252 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( ( y  mod  W )  =  ( y  mod  W
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )
2812, 27mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
29 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps )
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x th
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
3231sbcbii 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. W  /  y ]. ps  <->  [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
33 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  W  ->  (
z  ||  y  <->  z  ||  W ) )
3433anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) )
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3635ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
3736sbcieg 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3932, 38bitrid 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
4030, 39sbcbid 3032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
41 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  ( y  mod  W
) ) )
4241anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  W )  <-> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
4342imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4443ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4544sbcieg 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  mod  W )  e.  NN0  ->  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4740, 46bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4929, 48mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5049r19.21bi 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5150imp 124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) )
5251simprd 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  W )
53 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  NN0 )
5453nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  ZZ )
55 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  ZZ )
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
q  e.  ZZ )
5720ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  ->  W  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 11853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  W  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  W  ->  z 
||  ( q  x.  W ) ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  ->  z  ||  ( q  x.  W ) ) )
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( q  x.  W ) )
6151simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( y  mod  W ) )
6256, 57zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( q  x.  W
)  e.  ZZ )
6317ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  NN0 )
6463nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  ZZ )
65 dvds2add 11845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( q  x.  W
)  e.  ZZ  /\  ( y  mod  W
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( q  x.  W )  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6654, 62, 64, 65syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( z  ||  ( q  x.  W
)  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6760, 61, 66mp2and 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( (
q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) ) )
68 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
6968ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
7067, 69breqtrd 4041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  y )
7152, 70jca 306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) )
7271ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7372ralrimiva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7431sbcbii 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( [. W  /  x ]. ps  <->  [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
75 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  W ) )
7675anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7776imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
7877ralbidv 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
7978sbcieg 3007 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8174, 80bitrid 192 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8281ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
8373, 82mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. W  /  x ]. ps )
84 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  ph )
8583, 84jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
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W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
8628, 85rexlimddv 2609 . . . 4  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) )
8786exp31 364 . . 3  |-  ( th 
->  ( r  e.  NN0  ->  ( ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
) ) )
8811, 87reximdai 2585 . 2  |-  ( th 
->  ( E. r  e. 
NN0  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) ) )
8910, 88mpd 13 1  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363   F/wnf 1470   [wsb 1772    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   [.wsbc 2974   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   0cc0 7824    + caddc 7827    x. cmul 7829    < clt 8005   NNcn 8932   NN0cn0 9189   ZZcz 9266   QQcq 9632    mod cmo 10335    || cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808
This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12012
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