Theorem bezoutlemstep 12518

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezoutlemstep.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezoutlemstep.b	|- ( th -> B e. NN0 )
bezoutlemstep.w	|- ( th -> W e. NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout	|- ( th -> [ y / r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0	|- ( th -> y e. NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout	|- ( th -> [. W / r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd	|- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
bezoutlemstep.hyp	|- ( ( th /\ [. ( y mod W ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) )
bezoutlemstep.thx	|- F/ x th
bezoutlemstep.thr	|- F/ r th

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemstep	|- ( th -> E. r e. NN0 ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )

Distinct variable groups:   A, r, s, t   B, r, s, t   W, r, x, y, z   W, s, t, y   ph, z   ph, s, t   ps, z   th, z   th, s, t

Allowed substitution hints:   ph( x, y, r)   ps( x, y, t, s, r)   th( x, y, r)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.is-bezout	. . . 4 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
2		bezoutlemstep.a	. . . 4 |- ( th -> A e. NN0 )
3		bezoutlemstep.b	. . . 4 |- ( th -> B e. NN0 )
4		bezoutlemstep.w	. . . 4 |- ( th -> W e. NN )
5		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . 4 |- ( th -> [ y / r ] ph )
6		bezoutlemstep.y-nn0	. . . 4 |- ( th -> y e. NN0 )
7		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . . 4 |- ( th -> [. W / r ]. ph )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	bezoutlemnewy 12517	. . 3 |- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
9		bezoutlemstep.hyp	. . 3 |- ( ( th /\ [. ( y mod W ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) )
10	8, 9	mpdan 421	. 2 |- ( th -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) )
11		bezoutlemstep.thr	. . 3 |- F/ r th
12		eqidd 2230	. . . . . 6 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( y mod W ) = ( y mod W ) )
13	6	nn0zd 9567	. . . . . . . 8 |- ( th -> y e. ZZ )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> y e. ZZ )
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> W e. NN )
16	13, 4	zmodcld 10567	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( y mod W ) e. NN0 )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
18		zq 9821	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> y e. QQ )
20	15	nnzd 9568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> W e. ZZ )
21		zq 9821	. . . . . . . . 9 |- ( W e. ZZ -> W e. QQ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> W e. QQ )
23	15	nngt0d 9154	. . . . . . . 8 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> 0 < W )
24		modqlt 10555	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. QQ /\ W e. QQ /\ 0 < W ) -> ( y mod W ) < W )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( y mod W ) < W )
26		modremain 12440	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
27	14, 15, 17, 25, 26	syl112anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
28	12, 27	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
29		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps )
30		bezoutlemstep.thx	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x th
31		bezoutlemstep.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
32	31	sbcbii 3088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. W / y ]. ps <-> [. W / y ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
33		breq2 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = W -> ( z || y <-> z || W ) )
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = W -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || x /\ z || W ) ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = W -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
36	35	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = W -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
37	36	sbcieg 3061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W e. NN -> ( [. W / y ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( th -> ( [. W / y ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
39	32, 38	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> ( [. W / y ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
40	30, 39	sbcbid 3086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps <-> [. ( y mod W ) / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
41		breq2 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( y mod W ) -> ( z || x <-> z || ( y mod W ) ) )
42	41	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y mod W ) -> ( ( z || x /\ z || W ) <-> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) )
43	42	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( y mod W ) -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
44	43	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( y mod W ) -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
45	44	sbcieg 3061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y mod W ) e. NN0 -> ( [. ( y mod W ) / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
46	16, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> ( [. ( y mod W ) / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
47	40, 46	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( th -> ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
49	29, 48	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) )
50	49	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) )
51	50	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) )
52	51	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || W )
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z e. NN0 )
54	53	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z e. ZZ )
55		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. ZZ )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> q e. ZZ )
57	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> W e. ZZ )
58		dvdsmultr2 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ q e. ZZ /\ W e. ZZ ) -> ( z || W -> z || ( q x. W ) ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( z || W -> z || ( q x. W ) ) )
60	52, 59	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || ( q x. W ) )
61	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || ( y mod W ) )
62	56, 57	zmulcld 9575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( q x. W ) e. ZZ )
63	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
64	63	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( y mod W ) e. ZZ )
65		dvds2add 12336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ ( q x. W ) e. ZZ /\ ( y mod W ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( q x. W ) /\ z || ( y mod W ) ) -> z || ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) ) )
66	54, 62, 64, 65	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( ( z || ( q x. W ) /\ z || ( y mod W ) ) -> z || ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) ) )
67	60, 61, 66	mp2and 433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) )
68		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
69	68	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
70	67, 69	breqtrd 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || y )
71	52, 70	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( z || W /\ z || y ) )
72	71	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) )
73	72	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) )
74	31	sbcbii 3088	. . . . . . . . 9 |- ( [. W / x ]. ps <-> [. W / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
75		breq2 4087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = W -> ( z || x <-> z || W ) )
76	75	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = W -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || W /\ z || y ) ) )
77	76	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = W -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
78	77	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = W -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
79	78	sbcieg 3061	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. NN -> ( [. W / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( [. W / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
81	74, 80	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( [. W / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
82	81	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. W / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
83	73, 82	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. W / x ]. ps )
84		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ph )
85	83, 84	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )
86	28, 85	rexlimddv 2653	. . . 4 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )
87	86	exp31 364	. . 3 |- ( th -> ( r e. NN0 -> ( ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) -> ( [. W / x ]. ps /\ ph ) ) ) )
88	11, 87	reximdai 2628	. 2 |- ( th -> ( E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) -> E. r e. NN0 ( [. W / x ]. ps /\ ph ) ) )
89	10, 88	mpd 13	1 |- ( th -> E. r e. NN0 ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   F/wnf 1506   [wsb 1808   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   [.wsbc 3028   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   QQcq 9814   mod cmo 10544   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12519