Theorem bezoutlemstep 11952

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezoutlemstep.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezoutlemstep.b	|- ( th -> B e. NN0 )
bezoutlemstep.w	|- ( th -> W e. NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout	|- ( th -> [ y / r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0	|- ( th -> y e. NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout	|- ( th -> [. W / r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd	|- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
bezoutlemstep.hyp	|- ( ( th /\ [. ( y mod W ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) )
bezoutlemstep.thx	|- F/ x th
bezoutlemstep.thr	|- F/ r th

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemstep	|- ( th -> E. r e. NN0 ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )

Distinct variable groups:   A, r, s, t   B, r, s, t   W, r, x, y, z   W, s, t, y   ph, z   ph, s, t   ps, z   th, z   th, s, t

Allowed substitution hints:   ph( x, y, r)   ps( x, y, t, s, r)   th( x, y, r)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.is-bezout	. . . 4 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
2		bezoutlemstep.a	. . . 4 |- ( th -> A e. NN0 )
3		bezoutlemstep.b	. . . 4 |- ( th -> B e. NN0 )
4		bezoutlemstep.w	. . . 4 |- ( th -> W e. NN )
5		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . 4 |- ( th -> [ y / r ] ph )
6		bezoutlemstep.y-nn0	. . . 4 |- ( th -> y e. NN0 )
7		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . . 4 |- ( th -> [. W / r ]. ph )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	bezoutlemnewy 11951	. . 3 |- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
9		bezoutlemstep.hyp	. . 3 |- ( ( th /\ [. ( y mod W ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) )
10	8, 9	mpdan 419	. 2 |- ( th -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) )
11		bezoutlemstep.thr	. . 3 |- F/ r th
12		eqidd 2171	. . . . . 6 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( y mod W ) = ( y mod W ) )
13	6	nn0zd 9332	. . . . . . . 8 |- ( th -> y e. ZZ )
14	13	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> y e. ZZ )
15	4	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> W e. NN )
16	13, 4	zmodcld 10301	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( y mod W ) e. NN0 )
17	16	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
18		zq 9585	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> y e. QQ )
20	15	nnzd 9333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> W e. ZZ )
21		zq 9585	. . . . . . . . 9 |- ( W e. ZZ -> W e. QQ )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> W e. QQ )
23	15	nngt0d 8922	. . . . . . . 8 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> 0 < W )
24		modqlt 10289	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. QQ /\ W e. QQ /\ 0 < W ) -> ( y mod W ) < W )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( y mod W ) < W )
26		modremain 11888	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
27	14, 15, 17, 25, 26	syl112anc 1237	. . . . . 6 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
28	12, 27	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
29		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps )
30		bezoutlemstep.thx	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x th
31		bezoutlemstep.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
32	31	sbcbii 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. W / y ]. ps <-> [. W / y ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
33		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = W -> ( z || y <-> z || W ) )
34	33	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = W -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || x /\ z || W ) ) )
35	34	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = W -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
36	35	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = W -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
37	36	sbcieg 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W e. NN -> ( [. W / y ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( th -> ( [. W / y ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
39	32, 38	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> ( [. W / y ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
40	30, 39	sbcbid 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps <-> [. ( y mod W ) / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) ) )
41		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( y mod W ) -> ( z || x <-> z || ( y mod W ) ) )
42	41	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( y mod W ) -> ( ( z || x /\ z || W ) <-> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) )
43	42	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( y mod W ) -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
44	43	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( y mod W ) -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
45	44	sbcieg 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y mod W ) e. NN0 -> ( [. ( y mod W ) / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
46	16, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> ( [. ( y mod W ) / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || W ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
47	40, 46	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( th -> ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
48	47	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) ) )
49	29, 48	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) )
50	49	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || r -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) ) )
51	50	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( z || ( y mod W ) /\ z || W ) )
52	51	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || W )
53		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z e. NN0 )
54	53	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z e. ZZ )
55		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. ZZ )
56	55	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> q e. ZZ )
57	20	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> W e. ZZ )
58		dvdsmultr2 11795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ q e. ZZ /\ W e. ZZ ) -> ( z || W -> z || ( q x. W ) ) )
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( z || W -> z || ( q x. W ) ) )
60	52, 59	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || ( q x. W ) )
61	51	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || ( y mod W ) )
62	56, 57	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( q x. W ) e. ZZ )
63	17	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
64	63	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( y mod W ) e. ZZ )
65		dvds2add 11787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ ( q x. W ) e. ZZ /\ ( y mod W ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( q x. W ) /\ z || ( y mod W ) ) -> z || ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) ) )
66	54, 62, 64, 65	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( ( z || ( q x. W ) /\ z || ( y mod W ) ) -> z || ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) ) )
67	60, 61, 66	mp2and 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) )
68		simprr 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
69	68	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
70	67, 69	breqtrd 4015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> z || y )
71	52, 70	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) /\ z || r ) -> ( z || W /\ z || y ) )
72	71	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) )
73	72	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) )
74	31	sbcbii 3014	. . . . . . . . 9 |- ( [. W / x ]. ps <-> [. W / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
75		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = W -> ( z || x <-> z || W ) )
76	75	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = W -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || W /\ z || y ) ) )
77	76	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = W -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
78	77	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = W -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
79	78	sbcieg 2987	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. NN -> ( [. W / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( [. W / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
81	74, 80	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( [. W / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
82	81	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. W / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || W /\ z || y ) ) ) )
83	73, 82	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. W / x ]. ps )
84		simplrr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ph )
85	83, 84	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )
86	28, 85	rexlimddv 2592	. . . 4 |- ( ( ( th /\ r e. NN0 ) /\ ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) ) -> ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )
87	86	exp31 362	. . 3 |- ( th -> ( r e. NN0 -> ( ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) -> ( [. W / x ]. ps /\ ph ) ) ) )
88	11, 87	reximdai 2568	. 2 |- ( th -> ( E. r e. NN0 ( [. ( y mod W ) / x ]. [. W / y ]. ps /\ ph ) -> E. r e. NN0 ( [. W / x ]. ps /\ ph ) ) )
89	10, 88	mpd 13	1 |- ( th -> E. r e. NN0 ( [. W / x ]. ps /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   F/wnf 1453   [wsb 1755   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   [.wsbc 2955   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   0cc0 7774   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   QQcq 9578   mod cmo 10278   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  11953