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Theorem bezoutlemstep 11079
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
bezoutlemstep.a  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
bezoutlemstep.b  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
bezoutlemstep.hyp  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
bezoutlemstep.thx  |-  F/ x th
bezoutlemstep.thr  |-  F/ r th
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    A, r, s, t    B, r, s, t    W, r, x, y, z    W, s, t, y    ph, z    ph, s, t    ps, z    th, z    th, s, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, r)    ps( x, y, t, s, r)    th( x, y, r)    A( x, y, z)    B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
2 bezoutlemstep.a . . . 4  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
3 bezoutlemstep.b . . . 4  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
4 bezoutlemstep.w . . . 4  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 11078 . . 3  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
9 bezoutlemstep.hyp . . 3  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
108, 9mpdan 412 . 2  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
11 bezoutlemstep.thr . . 3  |-  F/ r th
12 eqidd 2089 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  =  ( y  mod  W ) )
136nn0zd 8836 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  e.  ZZ )
1413ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  ZZ )
154ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  NN )
1613, 4zmodcld 9717 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( y  mod  W
)  e.  NN0 )
1716ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  e.  NN0 )
18 zq 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  QQ )
2015nnzd 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  ZZ )
21 zq 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  ZZ  ->  W  e.  QQ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  QQ )
2315nngt0d 8437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  0  <  W
)
24 modqlt 9705 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  W  e.  QQ  /\  0  <  W )  ->  (
y  mod  W )  <  W )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  <  W
)
26 modremain 11022 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  ( (
y  mod  W )  =  ( y  mod 
W )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y ) )
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1178 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( ( y  mod  W )  =  ( y  mod  W
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )
2812, 27mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
29 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps )
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x th
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
3231sbcbii 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. W  /  y ]. ps  <->  [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
33 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  W  ->  (
z  ||  y  <->  z  ||  W ) )
3433anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) )
3534imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3635ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
3736sbcieg 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3932, 38syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
4030, 39sbcbid 2894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
41 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  ( y  mod  W
) ) )
4241anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  W )  <-> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
4342imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4443ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4544sbcieg 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  mod  W )  e.  NN0  ->  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4740, 46bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4847ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4929, 48mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5049r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5150imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) )
5251simprd 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  W )
53 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  NN0 )
5453nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  ZZ )
55 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  ZZ )
5655ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
q  e.  ZZ )
5720ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  ->  W  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 10929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  W  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  W  ->  z 
||  ( q  x.  W ) ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  ->  z  ||  ( q  x.  W ) ) )
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( q  x.  W ) )
6151simpld 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( y  mod  W ) )
6256, 57zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( q  x.  W
)  e.  ZZ )
6317ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  NN0 )
6463nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  ZZ )
65 dvds2add 10923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( q  x.  W
)  e.  ZZ  /\  ( y  mod  W
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( q  x.  W )  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6654, 62, 64, 65syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( z  ||  ( q  x.  W
)  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6760, 61, 66mp2and 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( (
q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) ) )
68 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
6968ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
7067, 69breqtrd 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  y )
7152, 70jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) )
7271ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7372ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7431sbcbii 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( [. W  /  x ]. ps  <->  [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
75 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  W ) )
7675anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7776imbi2d 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
7877ralbidv 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
7978sbcieg 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8174, 80syl5bb 190 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8281ad3antrrr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
8373, 82mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. W  /  x ]. ps )
84 simplrr 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  ph )
8583, 84jca 300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
8628, 85rexlimddv 2493 . . . 4  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) )
8786exp31 356 . . 3  |-  ( th 
->  ( r  e.  NN0  ->  ( ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
) ) )
8811, 87reximdai 2471 . 2  |-  ( th 
->  ( E. r  e. 
NN0  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) ) )
8910, 88mpd 13 1  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   F/wnf 1394    e. wcel 1438   [wsb 1692   A.wral 2359   E.wrex 2360   [.wsbc 2838   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   0cc0 7329    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   QQcq 9073    mod cmo 9694    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890
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