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Theorem bezoutlemstep 11981
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
bezoutlemstep.a  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
bezoutlemstep.b  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
bezoutlemstep.hyp  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
bezoutlemstep.thx  |-  F/ x th
bezoutlemstep.thr  |-  F/ r th
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    A, r, s, t    B, r, s, t    W, r, x, y, z    W, s, t, y    ph, z    ph, s, t    ps, z    th, z    th, s, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, r)    ps( x, y, t, s, r)    th( x, y, r)    A( x, y, z)    B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
2 bezoutlemstep.a . . . 4  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
3 bezoutlemstep.b . . . 4  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
4 bezoutlemstep.w . . . 4  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 11980 . . 3  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
9 bezoutlemstep.hyp . . 3  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
108, 9mpdan 421 . 2  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
11 bezoutlemstep.thr . . 3  |-  F/ r th
12 eqidd 2178 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  =  ( y  mod  W ) )
136nn0zd 9362 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  e.  ZZ )
1413ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  ZZ )
154ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  NN )
1613, 4zmodcld 10331 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( y  mod  W
)  e.  NN0 )
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  e.  NN0 )
18 zq 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  QQ )
2015nnzd 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  ZZ )
21 zq 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  ZZ  ->  W  e.  QQ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  QQ )
2315nngt0d 8952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  0  <  W
)
24 modqlt 10319 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  W  e.  QQ  /\  0  <  W )  ->  (
y  mod  W )  <  W )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  <  W
)
26 modremain 11917 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  ( (
y  mod  W )  =  ( y  mod 
W )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y ) )
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1242 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( ( y  mod  W )  =  ( y  mod  W
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )
2812, 27mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
29 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps )
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x th
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
3231sbcbii 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. W  /  y ]. ps  <->  [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
33 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  W  ->  (
z  ||  y  <->  z  ||  W ) )
3433anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) )
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3635ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
3736sbcieg 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3932, 38bitrid 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
4030, 39sbcbid 3020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
41 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  ( y  mod  W
) ) )
4241anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  W )  <-> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
4342imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4443ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4544sbcieg 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  mod  W )  e.  NN0  ->  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4740, 46bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4929, 48mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5049r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5150imp 124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) )
5251simprd 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  W )
53 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  NN0 )
5453nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  ZZ )
55 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  ZZ )
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
q  e.  ZZ )
5720ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  ->  W  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 11824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  W  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  W  ->  z 
||  ( q  x.  W ) ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  ->  z  ||  ( q  x.  W ) ) )
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( q  x.  W ) )
6151simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( y  mod  W ) )
6256, 57zmulcld 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( q  x.  W
)  e.  ZZ )
6317ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  NN0 )
6463nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  ZZ )
65 dvds2add 11816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( q  x.  W
)  e.  ZZ  /\  ( y  mod  W
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( q  x.  W )  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6654, 62, 64, 65syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( z  ||  ( q  x.  W
)  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6760, 61, 66mp2and 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( (
q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) ) )
68 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
6968ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
7067, 69breqtrd 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  y )
7152, 70jca 306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) )
7271ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7372ralrimiva 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7431sbcbii 3022 . . . . . . . . 9  |-  ( [. W  /  x ]. ps  <->  [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
75 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  W ) )
7675anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7776imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
7877ralbidv 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
7978sbcieg 2995 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8174, 80bitrid 192 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8281ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
8373, 82mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. W  /  x ]. ps )
84 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  ph )
8583, 84jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
8628, 85rexlimddv 2599 . . . 4  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) )
8786exp31 364 . . 3  |-  ( th 
->  ( r  e.  NN0  ->  ( ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
) ) )
8811, 87reximdai 2575 . 2  |-  ( th 
->  ( E. r  e. 
NN0  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) ) )
8910, 88mpd 13 1  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   F/wnf 1460   [wsb 1762    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [.wsbc 2962   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   0cc0 7802    + caddc 7805    x. cmul 7807    < clt 7982   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   QQcq 9608    mod cmo 10308    || cdvds 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779
This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  11982
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