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Theorem bezoutlemstep 11965
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
bezoutlemstep.a  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
bezoutlemstep.b  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
bezoutlemstep.sub-gcd  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
bezoutlemstep.hyp  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
bezoutlemstep.thx  |-  F/ x th
bezoutlemstep.thr  |-  F/ r th
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    A, r, s, t    B, r, s, t    W, r, x, y, z    W, s, t, y    ph, z    ph, s, t    ps, z    th, z    th, s, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, r)    ps( x, y, t, s, r)    th( x, y, r)    A( x, y, z)    B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4  |-  ( ph  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  r  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
2 bezoutlemstep.a . . . 4  |-  ( th 
->  A  e.  NN0 )
3 bezoutlemstep.b . . . 4  |-  ( th 
->  B  e.  NN0 )
4 bezoutlemstep.w . . . 4  |-  ( th 
->  W  e.  NN )
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [ y  /  r ] ph )
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4  |-  ( th 
->  y  e.  NN0 )
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4  |-  ( th 
->  [. W  /  r ]. ph )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 11964 . . 3  |-  ( th 
->  [. ( y  mod 
W )  /  r ]. ph )
9 bezoutlemstep.hyp . . 3  |-  ( ( th  /\  [. (
y  mod  W )  /  r ]. ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
108, 9mpdan 421 . 2  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)
11 bezoutlemstep.thr . . 3  |-  F/ r th
12 eqidd 2176 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  =  ( y  mod  W ) )
136nn0zd 9346 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  e.  ZZ )
1413ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  ZZ )
154ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  NN )
1613, 4zmodcld 10315 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( y  mod  W
)  e.  NN0 )
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  e.  NN0 )
18 zq 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  y  e.  QQ )
2015nnzd 9347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  ZZ )
21 zq 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  ZZ  ->  W  e.  QQ )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  W  e.  QQ )
2315nngt0d 8936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  0  <  W
)
24 modqlt 10303 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  W  e.  QQ  /\  0  <  W )  ->  (
y  mod  W )  <  W )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( y  mod 
W )  <  W
)
26 modremain 11901 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  W  e.  NN  /\  (
( y  mod  W
)  e.  NN0  /\  ( y  mod  W
)  <  W )
)  ->  ( (
y  mod  W )  =  ( y  mod 
W )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W
) )  =  y ) )
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1242 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( ( y  mod  W )  =  ( y  mod  W
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )
2812, 27mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  E. q  e.  ZZ  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
29 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps )
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x th
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps  <->  A. z  e.  NN0  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
3231sbcbii 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. W  /  y ]. ps  <->  [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
33 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  W  ->  (
z  ||  y  <->  z  ||  W ) )
3433anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) )
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3635ralbidv 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
3736sbcieg 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  y ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) ) ) )
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
3932, 38bitrid 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  ( [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
4030, 39sbcbid 3018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) ) ) )
41 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  ( y  mod  W
) ) )
4241anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  W )  <-> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
4342imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4443ralbidv 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  mod 
W )  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4544sbcieg 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  mod  W )  e.  NN0  ->  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  W
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4740, 46bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( th 
->  ( [. ( y  mod  W )  /  x ]. [. W  / 
y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W
)  /\  z  ||  W ) ) ) )
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) ) )
4929, 48mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5049r19.21bi 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  ( y  mod  W )  /\  z  ||  W ) ) )
5150imp 124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  (
y  mod  W )  /\  z  ||  W ) )
5251simprd 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  W )
53 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  NN0 )
5453nn0zd 9346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  e.  ZZ )
55 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
q  e.  ZZ )
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
q  e.  ZZ )
5720ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  ->  W  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 11808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ  /\  W  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  W  ->  z 
||  ( q  x.  W ) ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  ->  z  ||  ( q  x.  W ) ) )
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( q  x.  W ) )
6151simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( y  mod  W ) )
6256, 57zmulcld 9354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( q  x.  W
)  e.  ZZ )
6317ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  NN0 )
6463nn0zd 9346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( y  mod  W
)  e.  ZZ )
65 dvds2add 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( q  x.  W
)  e.  ZZ  /\  ( y  mod  W
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( q  x.  W )  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6654, 62, 64, 65syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( z  ||  ( q  x.  W
)  /\  z  ||  ( y  mod  W
) )  ->  z  ||  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) ) ) )
6760, 61, 66mp2and 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  ( (
q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) ) )
68 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
6968ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y )
7067, 69breqtrd 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
z  ||  y )
7152, 70jca 306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( th  /\  r  e. 
NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  /\  z  e.  NN0 )  /\  z  ||  r )  -> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) )
7271ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( th 
/\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph ) )  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod  W ) )  =  y ) )  /\  z  e. 
NN0 )  ->  (
z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7372ralrimiva 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7431sbcbii 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( [. W  /  x ]. ps  <->  [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) ) )
75 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  (
z  ||  x  <->  z  ||  W ) )
7675anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  x  /\  z  ||  y )  <-> 
( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) )
7776imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  W  ->  (
( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
7877ralbidv 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  W  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
7978sbcieg 2993 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  NN  ->  ( [. W  /  x ]. A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. A. z  e. 
NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  x  /\  z  ||  y
) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8174, 80bitrid 192 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  ( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y
) ) ) )
8281ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  r  ->  ( z  ||  W  /\  z  ||  y ) ) ) )
8373, 82mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  [. W  /  x ]. ps )
84 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  ->  ph )
8583, 84jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod 
W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph )
)  /\  ( q  e.  ZZ  /\  ( ( q  x.  W )  +  ( y  mod 
W ) )  =  y ) )  -> 
( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
8628, 85rexlimddv 2597 . . . 4  |-  ( ( ( th  /\  r  e.  NN0 )  /\  ( [. ( y  mod  W
)  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\  ph ) )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) )
8786exp31 364 . . 3  |-  ( th 
->  ( r  e.  NN0  ->  ( ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
) ) )
8811, 87reximdai 2573 . 2  |-  ( th 
->  ( E. r  e. 
NN0  ( [. (
y  mod  W )  /  x ]. [. W  /  y ]. ps  /\ 
ph )  ->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph ) ) )
8910, 88mpd 13 1  |-  ( th 
->  E. r  e.  NN0  ( [. W  /  x ]. ps  /\  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   F/wnf 1458   [wsb 1760    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   [.wsbc 2960   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786    + caddc 7789    x. cmul 7791    < clt 7966   NNcn 8892   NN0cn0 9149   ZZcz 9226   QQcq 9592    mod cmo 10292    || cdvds 11762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763
This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  11966
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