Theorem lgsdir2 15274

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )

Proof of Theorem lgsdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 8019	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 0 e. CC )
2		1cnd 8042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. CC )
3		neg1cn 9095	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> -u 1 e. CC )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
6		8nn 9158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 8 e. NN )
8	5, 7	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B mod 8 ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B mod 8 ) e. ZZ )
10		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 1 )
13		7nn 9157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 7 e. NN
14	13	nnzi 9347	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. ZZ
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 7 e. ZZ )
16		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 7 )
17	9, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 7 )
18		dcor 937	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( B mod 8 ) = 1 -> (DECID ( B mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
19	12, 17, 18	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) )
20		elprg 3642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B mod 8 ) e. NN0 -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
22	21	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> (DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
24	2, 4, 23	ifcldcd 3597	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
26		2nn 9152	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 e. NN )
28		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> B e. ZZ )
29		dvdsdc 11963	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || B )
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> DECID 2 || B )
31	1, 25, 30	ifcldcd 3597	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC )
32	31	mul02d 8418	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = 0 )
33		iftrue 3566	. . . . . . 7 |- ( 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
35	34	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
36		2z 9354	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
37		dvdsmultr1 11996	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
38	36, 37	mp3an1 1335	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
39	38	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 || ( A x. B ) )
40	39	iftrued 3568	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
41	32, 35, 40	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
42		0cnd 8019	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. CC )
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
44	43, 7	zmodcld 10437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
46		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
47	45, 10, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48		zdceq 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
49	45, 15, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
50		dcor 937	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
51	47, 49, 50	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
52		elprg 3642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
54	53	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
55	51, 54	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
56	2, 4, 55	ifcldcd 3597	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 2 e. NN )
58		dvdsdc 11963	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
59	57, 43, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
60	42, 56, 59	ifcldcd 3597	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC )
61	60	mul01d 8419	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
62	61	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
63		iftrue 3566	. . . . . . 7 |- ( 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
64	63	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
65	64	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) )
66		dvdsmultr2 11998	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
67	36, 66	mp3an1 1335	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
68	67	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> 2 || ( A x. B ) )
69	68	iftrued 3568	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
70	62, 65, 69	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
71	41, 70	jaodan 798	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
72		ioran 753	. . . 4 |- ( -. ( 2 || A \/ 2 || B ) <-> ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) )
73	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
74	73	mulid2d 8045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
75		iftrue 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
77	76	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
78		lgsdir2lem4 15272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
79	78	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
80	79	ifbid 3582	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
81	74, 77, 80	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
82	56	mulridd 8043	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
84		iftrue 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
86	85	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) )
87		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
88		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
89		mulcom 8008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
90	87, 88, 89	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
91	90	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
92	91	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( B x. A ) mod 8 ) )
93	92	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
94		lgsdir2lem4 15272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
95	94	ancom1s 569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
96	95	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
97	93, 96	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
98	97	ifbid 3582	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
99	83, 86, 98	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
100	81, 99	jaodan 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
101		ioran 753	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
102		neg1mulneg1e1 9203	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
103		iffalse 3569	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
104		iffalse 3569	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
105	103, 104	oveqan12d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
106	105	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
107		lgsdir2lem3 15271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
108	107	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
109		elun 3304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
110	108, 109	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
111	110	orcanai 929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
112		lgsdir2lem3 15271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ZZ /\ -. 2 || B ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
113	112	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
114		elun 3304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
115	113, 114	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
116	115	orcanai 929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
117	111, 116	anim12dan 600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
118		lgsdir2lem5 15273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
119	118	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
120	117, 119	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
121	120	iftrued 3568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
122	102, 106, 121	3eqtr4a 2255	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
123	101, 122	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
124		dcor 937	. . . . . . . . 9 |- (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> (DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
125	55, 23, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
126	125	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
127		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) \/ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
128	126, 127	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) \/ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
129	100, 123, 128	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
130		iffalse 3569	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
131		iffalse 3569	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
132	130, 131	oveqan12d 5941	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
133	132	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134		2prm 12295	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. Prime
135		euclemma 12314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
136	134, 135	mp3an1 1335	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
137	136	notbid 668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. 2 || ( A x. B ) <-> -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
138	137	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
139	72, 138	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
140		iffalse 3569	. . . . . 6 |- ( -. 2 || ( A x. B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
142	129, 133, 141	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
143	72, 142	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
144	57, 5, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || B )
145		dcor 937	. . . . 5 |- (DECID 2 || A -> (DECID 2 || B -> DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
146	59, 144, 145	sylc 62	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) )
147		exmiddc 837	. . . 4 |- (DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) -> ( ( 2 || A \/ 2 || B ) \/ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
148	146, 147	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 2 || A \/ 2 || B ) \/ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
149	71, 143, 148	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
150		lgs2 15258	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
151		lgs2 15258	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B /L 2 ) = if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
152	150, 151	oveqan12d 5941	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
153		zmulcl 9379	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
154		lgs2 15258	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. ZZ -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
155	153, 154	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
156	149, 152, 155	3eqtr4rd 2240	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   ifcif 3561   {cpr 3623   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   -ucneg 8198   NNcn 8990   2c2 9041   3c3 9042   5c5 9044   7c7 9046   8c8 9047   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   mod cmo 10414   || cdvds 11952   Primecprime 12275   /Lclgs 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379  df-pc 12454  df-lgs 15239

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  15275