Theorem lgsdir2 15752

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )

Proof of Theorem lgsdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 8162	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 0 e. CC )
2		1cnd 8185	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. CC )
3		neg1cn 9238	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> -u 1 e. CC )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
6		8nn 9301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 8 e. NN )
8	5, 7	zmodcld 10597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B mod 8 ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B mod 8 ) e. ZZ )
10		1zzd 9496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 1 )
13		7nn 9300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 7 e. NN
14	13	nnzi 9490	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. ZZ
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 7 e. ZZ )
16		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 7 )
17	9, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 7 )
18		dcor 941	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( B mod 8 ) = 1 -> (DECID ( B mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
19	12, 17, 18	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) )
20		elprg 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B mod 8 ) e. NN0 -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
22	21	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> (DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
24	2, 4, 23	ifcldcd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
26		2nn 9295	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 e. NN )
28		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> B e. ZZ )
29		dvdsdc 12349	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || B )
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> DECID 2 || B )
31	1, 25, 30	ifcldcd 3641	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC )
32	31	mul02d 8561	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = 0 )
33		iftrue 3608	. . . . . . 7 |- ( 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
35	34	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
36		2z 9497	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
37		dvdsmultr1 12382	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
38	36, 37	mp3an1 1358	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
39	38	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 || ( A x. B ) )
40	39	iftrued 3610	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
41	32, 35, 40	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
42		0cnd 8162	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. CC )
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
44	43, 7	zmodcld 10597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
46		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
47	45, 10, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
49	45, 15, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
50		dcor 941	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
51	47, 49, 50	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
52		elprg 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
54	53	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
55	51, 54	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
56	2, 4, 55	ifcldcd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 2 e. NN )
58		dvdsdc 12349	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
59	57, 43, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
60	42, 56, 59	ifcldcd 3641	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC )
61	60	mul01d 8562	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
62	61	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
63		iftrue 3608	. . . . . . 7 |- ( 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
64	63	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
65	64	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) )
66		dvdsmultr2 12384	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
67	36, 66	mp3an1 1358	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
68	67	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> 2 || ( A x. B ) )
69	68	iftrued 3610	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
70	62, 65, 69	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
71	41, 70	jaodan 802	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
72		ioran 757	. . . 4 |- ( -. ( 2 || A \/ 2 || B ) <-> ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) )
73	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
74	73	mulid2d 8188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
75		iftrue 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
77	76	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
78		lgsdir2lem4 15750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
79	78	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
80	79	ifbid 3625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
81	74, 77, 80	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
82	56	mulridd 8186	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
84		iftrue 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
86	85	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) )
87		zcn 9474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
88		zcn 9474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
89		mulcom 8151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
90	87, 88, 89	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
91	90	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
92	91	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( B x. A ) mod 8 ) )
93	92	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
94		lgsdir2lem4 15750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
95	94	ancom1s 569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
96	95	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
97	93, 96	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
98	97	ifbid 3625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
99	83, 86, 98	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
100	81, 99	jaodan 802	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
101		ioran 757	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
102		neg1mulneg1e1 9346	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
103		iffalse 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
104		iffalse 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
105	103, 104	oveqan12d 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
106	105	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
107		lgsdir2lem3 15749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
108	107	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
109		elun 3346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
110	108, 109	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
111	110	orcanai 933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
112		lgsdir2lem3 15749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ZZ /\ -. 2 || B ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
113	112	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
114		elun 3346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
115	113, 114	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
116	115	orcanai 933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
117	111, 116	anim12dan 602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
118		lgsdir2lem5 15751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
119	118	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
120	117, 119	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
121	120	iftrued 3610	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
122	102, 106, 121	3eqtr4a 2288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
123	101, 122	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
124		dcor 941	. . . . . . . . 9 |- (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> (DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
125	55, 23, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
126	125	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
127		exmiddc 841	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) \/ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
128	126, 127	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) \/ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
129	100, 123, 128	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
130		iffalse 3611	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
131		iffalse 3611	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
132	130, 131	oveqan12d 6032	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
133	132	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134		2prm 12689	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. Prime
135		euclemma 12708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
136	134, 135	mp3an1 1358	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
137	136	notbid 671	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. 2 || ( A x. B ) <-> -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
138	137	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
139	72, 138	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
140		iffalse 3611	. . . . . 6 |- ( -. 2 || ( A x. B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
142	129, 133, 141	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
143	72, 142	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
144	57, 5, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || B )
145		dcor 941	. . . . 5 |- (DECID 2 || A -> (DECID 2 || B -> DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
146	59, 144, 145	sylc 62	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) )
147		exmiddc 841	. . . 4 |- (DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) -> ( ( 2 || A \/ 2 || B ) \/ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
148	146, 147	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 2 || A \/ 2 || B ) \/ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
149	71, 143, 148	mpjaodan 803	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
150		lgs2 15736	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
151		lgs2 15736	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B /L 2 ) = if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
152	150, 151	oveqan12d 6032	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
153		zmulcl 9523	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
154		lgs2 15736	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. ZZ -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
155	153, 154	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
156	149, 152, 155	3eqtr4rd 2273	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   ifcif 3603   {cpr 3668   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   x. cmul 8027   -ucneg 8341   NNcn 9133   2c2 9184   3c3 9185   5c5 9187   7c7 9189   8c8 9190   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   mod cmo 10574   || cdvds 12338   Primecprime 12669   /Lclgs 15716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-phi 12773  df-pc 12848  df-lgs 15717

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  15753