Theorem lgsdir2 13534

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )

Proof of Theorem lgsdir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 7888	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 0 e. CC )
2		1cnd 7911	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. CC )
3		neg1cn 8958	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> -u 1 e. CC )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
6		8nn 9020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 8 e. NN )
8	5, 7	zmodcld 10276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B mod 8 ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 9307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B mod 8 ) e. ZZ )
10		1zzd 9214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 1 )
13		7nn 9019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 7 e. NN
14	13	nnzi 9208	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. ZZ
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 7 e. ZZ )
16		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 7 )
17	9, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) = 7 )
18		dcor 925	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( B mod 8 ) = 1 -> (DECID ( B mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
19	12, 17, 18	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) )
20		elprg 3595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B mod 8 ) e. NN0 -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
22	21	dcbid 828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> (DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( B mod 8 ) = 1 \/ ( B mod 8 ) = 7 ) ) )
23	19, 22	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
24	2, 4, 23	ifcldcd 3554	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
25	24	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
26		2nn 9014	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 e. NN )
28		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> B e. ZZ )
29		dvdsdc 11734	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || B )
30	27, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> DECID 2 || B )
31	1, 25, 30	ifcldcd 3554	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC )
32	31	mul02d 8286	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = 0 )
33		iftrue 3524	. . . . . . 7 |- ( 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
34	33	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
35	34	oveq1d 5856	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
36		2z 9215	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
37		dvdsmultr1 11767	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
38	36, 37	mp3an1 1314	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
39	38	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 || ( A x. B ) )
40	39	iftrued 3526	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
41	32, 35, 40	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
42		0cnd 7888	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. CC )
43		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
44	43, 7	zmodcld 10276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
46		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
47	45, 10, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
48		zdceq 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
49	45, 15, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
50		dcor 925	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
51	47, 49, 50	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
52		elprg 3595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
54	53	dcbid 828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
55	51, 54	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
56	2, 4, 55	ifcldcd 3554	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 2 e. NN )
58		dvdsdc 11734	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
59	57, 43, 58	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
60	42, 56, 59	ifcldcd 3554	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC )
61	60	mul01d 8287	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
62	61	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
63		iftrue 3524	. . . . . . 7 |- ( 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
64	63	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
65	64	oveq2d 5857	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) )
66		dvdsmultr2 11769	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
67	36, 66	mp3an1 1314	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
68	67	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> 2 || ( A x. B ) )
69	68	iftrued 3526	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
70	62, 65, 69	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
71	41, 70	jaodan 787	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
72		ioran 742	. . . 4 |- ( -. ( 2 || A \/ 2 || B ) <-> ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) )
73	24	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC )
74	73	mulid2d 7913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
75		iftrue 3524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
76	75	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
77	76	oveq1d 5856	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
78		lgsdir2lem4 13532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
79	78	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
80	79	ifbid 3540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
81	74, 77, 80	3eqtr4d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
82	56	mulid1d 7912	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
83	82	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
84		iftrue 3524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
85	84	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
86	85	oveq2d 5857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) )
87		zcn 9192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
88		zcn 9192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
89		mulcom 7878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
90	87, 88, 89	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
91	90	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
92	91	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( B x. A ) mod 8 ) )
93	92	eleq1d 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
94		lgsdir2lem4 13532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
95	94	ancom1s 559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
96	95	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
97	93, 96	bitrd 187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
98	97	ifbid 3540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
99	83, 86, 98	3eqtr4d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
100	81, 99	jaodan 787	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
101		ioran 742	. . . . . . 7 |- ( -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
102		neg1mulneg1e1 9065	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
103		iffalse 3527	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
104		iffalse 3527	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
105	103, 104	oveqan12d 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
106	105	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
107		lgsdir2lem3 13531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
108	107	ad2ant2r 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
109		elun 3262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
110	108, 109	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
111	110	orcanai 918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
112		lgsdir2lem3 13531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ZZ /\ -. 2 || B ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
113	112	ad2ant2l 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
114		elun 3262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
115	113, 114	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
116	115	orcanai 918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
117	111, 116	anim12dan 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
118		lgsdir2lem5 13533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
119	118	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
120	117, 119	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
121	120	iftrued 3526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
122	102, 106, 121	3eqtr4a 2224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
123	101, 122	sylan2b 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
124		dcor 925	. . . . . . . . 9 |- (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> (DECID ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
125	55, 23, 124	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
126	125	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
127		exmiddc 826	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) \/ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
128	126, 127	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) \/ -. ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
129	100, 123, 128	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
130		iffalse 3527	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
131		iffalse 3527	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
132	130, 131	oveqan12d 5860	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
133	132	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
134		2prm 12055	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. Prime
135		euclemma 12074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
136	134, 135	mp3an1 1314	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
137	136	notbid 657	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. 2 || ( A x. B ) <-> -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
138	137	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
139	72, 138	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
140		iffalse 3527	. . . . . 6 |- ( -. 2 || ( A x. B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
142	129, 133, 141	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
143	72, 142	sylan2b 285	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
144	57, 5, 29	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID 2 || B )
145		dcor 925	. . . . 5 |- (DECID 2 || A -> (DECID 2 || B -> DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
146	59, 144, 145	sylc 62	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) )
147		exmiddc 826	. . . 4 |- (DECID ( 2 || A \/ 2 || B ) -> ( ( 2 || A \/ 2 || B ) \/ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
148	146, 147	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 2 || A \/ 2 || B ) \/ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
149	71, 143, 148	mpjaodan 788	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
150		lgs2 13518	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
151		lgs2 13518	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B /L 2 ) = if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
152	150, 151	oveqan12d 5860	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
153		zmulcl 9240	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
154		lgs2 13518	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. ZZ -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
155	153, 154	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
156	149, 152, 155	3eqtr4rd 2209	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3113   ifcif 3519   {cpr 3576   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   CCcc 7747   0cc0 7749   1c1 7750   x. cmul 7754   -ucneg 8066   NNcn 8853   2c2 8904   3c3 8905   5c5 8907   7c7 8909   8c8 8910   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   mod cmo 10253   || cdvds 11723   Primecprime 12035   /Lclgs 13498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-9 8919  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-ihash 10685  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-clim 11216  df-proddc 11488  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-phi 12139  df-pc 12213  df-lgs 13499

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  13535