Theorem dvdsmul2 12240

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9461	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
2		eqid 2207	. . 3 |- ( M x. N ) = ( M x. N )
3		dvds0lem 12227	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( M x. N ) = ( M x. N ) ) -> N || ( M x. N ) )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
5	1, 4	mpd3an3 1351	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   x. cmul 7965   ZZcz 9407   || cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  iddvdsexp  12241  dvdsmultr2  12259  dvdsfac  12286  dvdsexp  12287  bitsinv1lem  12387  dvdssqim  12460  lcmval  12500  lcmcllem  12504  qredeq  12533  cncongr1  12540  sqpweven  12612  2sqpwodd  12613  hashdvds  12658  phimullem  12662  difsqpwdvds  12776  oddprmdvds  12792  4sqlem8  12823  dec2dvds  12849  oddennn  12878  perfectlem2  15587  lgsdir2lem2  15621  gausslemma2dlem1f1o  15652  lgsquadlem2  15670  lgsquadlem3  15671  lgsquad2lem1  15673  lgsquad2lem2  15674  2sqlem3  15709  2sqlem8  15715