Theorem dvdsmul2 12581

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9698	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( M x. N ) = ( M x. N )
3		dvds0lem 12568	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( M x. N ) = ( M x. N ) ) -> N || ( M x. N ) )
4	2, 3	mpan2 429	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
5	1, 4	mpd3an3 1379	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   x. cmul 8184   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-dvds 12555

This theorem is used by:  iddvdsexp  12582  dvdsmultr2  12600  dvdsfac  12627  dvdsexp  12628  bitsinv1lem  12728  dvdssqim  12801  lcmval  12841  lcmcllem  12845  qredeq  12874  cncongr1  12881  sqpweven  12953  2sqpwodd  12954  hashdvds  12999  phimullem  13003  difsqpwdvds  13117  oddprmdvds  13133  4sqlem8  13164  dec2dvds  13190  oddennn  13283  perfectlem2  16114  lgsdir2lem2  16148  gausslemma2dlem1f1o  16179  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  lgsquad2lem1  16200  lgsquad2lem2  16201  2sqlem3  16236  2sqlem8  16242