Theorem dvdsmul2 12325

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9500	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( M x. N ) = ( M x. N )
3		dvds0lem 12312	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ ( M x. N ) = ( M x. N ) ) -> N || ( M x. N ) )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
5	1, 4	mpd3an3 1372	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   x. cmul 8004   ZZcz 9446   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  iddvdsexp  12326  dvdsmultr2  12344  dvdsfac  12371  dvdsexp  12372  bitsinv1lem  12472  dvdssqim  12545  lcmval  12585  lcmcllem  12589  qredeq  12618  cncongr1  12625  sqpweven  12697  2sqpwodd  12698  hashdvds  12743  phimullem  12747  difsqpwdvds  12861  oddprmdvds  12877  4sqlem8  12908  dec2dvds  12934  oddennn  12963  perfectlem2  15674  lgsdir2lem2  15708  gausslemma2dlem1f1o  15739  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758  lgsquad2lem1  15760  lgsquad2lem2  15761  2sqlem3  15796  2sqlem8  15802