Theorem dvdstrd 12541

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 12539. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdstrd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdstrd.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdstrd.4	|- ( ph -> K || M )
dvdstrd.5	|- ( ph -> M || N )

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	|- ( ph -> K || N )

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdstrd.5	. 2 |- ( ph -> M || N )
3		dvdstrd.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
4		dvdstrd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		dvdstrd.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
6		dvdstr 12539	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> K || N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ZZcz 9594   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  bitsmod  12667  isprm5lem  12863  pcpremul  13016  pcdvdstr  13050  pockthlem  13079  4sqlem8  13108  znunit  14933  lgsmod  16025  2sqlem3  16116  2sqlem8  16122