Theorem dvdstrd 12216

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 12214. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdstrd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdstrd.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdstrd.4	|- ( ph -> K || M )
dvdstrd.5	|- ( ph -> M || N )

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	|- ( ph -> K || N )

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdstrd.5	. 2 |- ( ph -> M || N )
3		dvdstrd.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
4		dvdstrd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		dvdstrd.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
6		dvdstr 12214	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> K || N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   class class class wbr 4051   ZZcz 9392   || cdvds 12173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-dvds 12174

This theorem is referenced by:  bitsmod  12342  isprm5lem  12538  pcpremul  12691  pcdvdstr  12725  pockthlem  12754  4sqlem8  12783  znunit  14496  lgsmod  15578  2sqlem3  15669  2sqlem8  15675