Theorem dvdstrd 11785

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 11783. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdstrd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdstrd.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdstrd.4	|- ( ph -> K || M )
dvdstrd.5	|- ( ph -> M || N )

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	|- ( ph -> K || N )

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdstrd.5	. 2 |- ( ph -> M || N )
3		dvdstrd.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
4		dvdstrd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		dvdstrd.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
6		dvdstr 11783	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
8	1, 2, 7	mp2and 431	1 |- ( ph -> K || N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ZZcz 9205   || cdvds 11742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-dvds 11743

This theorem is referenced by:  isprm5lem  12088  pcpremul  12240  pcdvdstr  12273  pockthlem  12301  4sqlem8  12330  lgsmod  13686  2sqlem3  13712  2sqlem8  13718