Theorem dvdstrd 11737

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 11736. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdstrd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdstrd.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdstrd.4	|- ( ph -> K || M )
dvdstrd.5	|- ( ph -> M || N )

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	|- ( ph -> K || N )

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdstrd.5	. 2 |- ( ph -> M || N )
3		dvdstrd.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
4		dvdstrd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		dvdstrd.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
6		dvdstr 11736	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1220	. 2 |- ( ph -> ( ( K || M /\ M || N ) -> K || N ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> K || N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ZZcz 9173   || cdvds 11695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-dvds 11696

This theorem is referenced by:  pcpremul  12184  pcdvdstr  12216