Theorem 4sqlem8 12908

Description: Lemma for 4sq 12933. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	|- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnzd 9568	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		4sqlem5.2	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
4		4sqlem5.4	. . . . 5 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5	3, 1, 4	4sqlem5 12905	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> B e. ZZ )
7	3, 6	zsubcld 9574	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )
8		zsqcl 10832	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		zsqcl 10832	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
12	9, 11	zsubcld 9574	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
13	5	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
14	1	nnne0d 9155	. . . 4 |- ( ph -> M =/= 0 )
15		dvdsval2 12301	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
17	13, 16	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> M || ( A - B ) )
18	3, 6	zaddcld 9573	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )
19		dvdsmul2 12325	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
20	18, 7, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
21	3	zcnd 9570	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
22	6	zcnd 9570	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
23		subsq 10868	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
25	20, 24	breqtrrd 4111	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 12341	1 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   + caddc 8002   x. cmul 8004   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   ZZcz 9446   mod cmo 10544   ^cexp 10760   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  4sqlem14  12927  2sqlem8  15802