Theorem 4sqlem8 13087

Description: Lemma for 4sq 13112. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	|- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnzd 9702	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		4sqlem5.2	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
4		4sqlem5.4	. . . . 5 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5	3, 1, 4	4sqlem5 13084	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> B e. ZZ )
7	3, 6	zsubcld 9708	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )
8		zsqcl 10976	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		zsqcl 10976	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
12	9, 11	zsubcld 9708	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
13	5	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
14	1	nnne0d 9284	. . . 4 |- ( ph -> M =/= 0 )
15		dvdsval2 12480	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
17	13, 16	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> M || ( A - B ) )
18	3, 6	zaddcld 9707	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )
19		dvdsmul2 12504	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
20	18, 7, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
21	3	zcnd 9704	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
22	6	zcnd 9704	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
23		subsq 11012	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
25	20, 24	breqtrrd 4139	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 12520	1 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   CCcc 8127   0cc0 8129   + caddc 8132   x. cmul 8134   - cmin 8446   / cdiv 8948   NNcn 9239   2c2 9290   ZZcz 9579   mod cmo 10688   ^cexp 10904   || cdvds 12477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-dvds 12478

This theorem is referenced by:  4sqlem14  13106  2sqlem8  16013