Theorem 4sqlem8 12412

Description: Lemma for 4sq 12437. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	|- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnzd 9399	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		4sqlem5.2	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
4		4sqlem5.4	. . . . 5 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5	3, 1, 4	4sqlem5 12409	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> B e. ZZ )
7	3, 6	zsubcld 9405	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )
8		zsqcl 10617	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		zsqcl 10617	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
12	9, 11	zsubcld 9405	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
13	5	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
14	1	nnne0d 8989	. . . 4 |- ( ph -> M =/= 0 )
15		dvdsval2 11824	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
17	13, 16	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> M || ( A - B ) )
18	3, 6	zaddcld 9404	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )
19		dvdsmul2 11848	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
20	18, 7, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
21	3	zcnd 9401	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
22	6	zcnd 9401	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
23		subsq 10653	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
25	20, 24	breqtrrd 4046	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 11864	1 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   CCcc 7834   0cc0 7836   + caddc 7839   x. cmul 7841   - cmin 8153   / cdiv 8654   NNcn 8944   2c2 8995   ZZcz 9278   mod cmo 10348   ^cexp 10545   || cdvds 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-fl 10296  df-mod 10349  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-dvds 11822

This theorem is referenced by:  4sqlem14  12431  2sqlem8  14908