Theorem 4sqlem8 13108

Description: Lemma for 4sq 13133. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem8	|- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnzd 9717	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		4sqlem5.2	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
4		4sqlem5.4	. . . . 5 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5	3, 1, 4	4sqlem5 13105	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> B e. ZZ )
7	3, 6	zsubcld 9723	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )
8		zsqcl 10996	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
9	3, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		zsqcl 10996	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
12	9, 11	zsubcld 9723	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
13	5	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
14	1	nnne0d 9299	. . . 4 |- ( ph -> M =/= 0 )
15		dvdsval2 12501	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
16	2, 14, 7, 15	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( M || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
17	13, 16	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> M || ( A - B ) )
18	3, 6	zaddcld 9722	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )
19		dvdsmul2 12525	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
20	18, 7, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
21	3	zcnd 9719	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
22	6	zcnd 9719	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
23		subsq 11032	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )
25	20, 24	breqtrrd 4142	. 2 |- ( ph -> ( A - B ) || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
26	2, 7, 12, 17, 25	dvdstrd 12541	1 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   mod cmo 10708   ^cexp 10924   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  4sqlem14  13127  2sqlem8  16122