Theorem isprm5lem 12082

Description: Lemma for isprm5 12083. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of P). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprm5lem.p	|- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
isprm5lem.z	|- ( ph -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
isprm5lem.x	|- ( ph -> X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isprm5lem	|- ( ph -> -. X || P )

Distinct variable groups:   z, P   z, X

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem isprm5lem

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
2		elfzuz 9964	. . 3 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		exprmfct 12079	. . 3 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. y e. Prime y || X )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( ph -> E. y e. Prime y || X )
5		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> ( y ^ 2 ) <_ P )
6		oveq1 5857	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
7	6	breq1d 3997	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( y ^ 2 ) <_ P ) )
8		breq1 3990	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z || P <-> y || P ) )
9	8	notbid 662	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z || P <-> -. y || P ) )
10	7, 9	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( ( y ^ 2 ) <_ P -> -. y || P ) ) )
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
12	11	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
13		simplrl 530	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> y e. Prime )
14	10, 12, 13	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P -> -. y || P ) )
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> -. y || P )
16		prmz 12052	. . . . . . 7 |- ( y e. Prime -> y e. ZZ )
17	16	ad2antrl 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. ZZ )
18	17	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y e. ZZ )
19		elfzelz 9968	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X e. ZZ )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ZZ )
21	20	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
22	21	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		eluzelz 9483	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
26	25	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
27	26	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
28		simplrr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> y || X )
29	28	adantlr 474	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y || X )
30		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> X || P )
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 11779	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y || P )
32	15, 31	mtand 660	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> -. X || P )
33	17	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y e. ZZ )
34	21	adantlr 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
35	25	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> P e. ZZ )
36	35	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
37	28	adantlr 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y || X )
38		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> X || P )
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 11779	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y || P )
40	17	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. ZZ )
41		prmnn 12051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Prime -> y e. NN )
42	41	nnne0d 8910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Prime -> y =/= 0 )
43	42	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y =/= 0 )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y =/= 0 )
45	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. ZZ )
46		dvdsval2 11739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ P e. ZZ ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
48	47	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
49	39, 48	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( P / y ) e. ZZ )
50	40	zred 9321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. RR )
51	50	recnd 7935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. CC )
52	51	mulid2d 7925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
53		2nn 9026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
54		fzssnn 10011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. NN -> ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
56	55, 1	sselid 3145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. NN )
57	56	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X e. NN )
58	57	nnred 8878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X e. RR )
59	25	zred 9321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. RR )
60	59	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. RR )
61		simplrr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y || X )
62		dvdsle 11791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ X e. NN ) -> ( y || X -> y <_ X ) )
63	40, 57, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y || X -> y <_ X ) )
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y <_ X )
65		elfzle2 9971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X <_ ( P - 1 ) )
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X <_ ( P - 1 ) )
67		zltlem1 9256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( X < P <-> X <_ ( P - 1 ) ) )
68	20, 25, 67	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X < P <-> X <_ ( P - 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X < P )
70	69	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X < P )
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y < P )
72	52, 71	eqbrtrd 4009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( 1 x. y ) < P )
73		1red 7922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> 1 e. RR )
74	41	nnrpd 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Prime -> y e. RR+ )
75	74	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. RR+ )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. RR+ )
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( 1 x. y ) < P <-> 1 < ( P / y ) ) )
78	72, 77	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> 1 < ( P / y ) )
79	78	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> 1 < ( P / y ) )
80		eluz2b1 9547	. . . . . . 7 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( P / y ) e. ZZ /\ 1 < ( P / y ) ) )
81	49, 79, 80	sylanbrc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82		exprmfct 12079	. . . . . 6 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. w e. Prime w || ( P / y ) )
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> E. w e. Prime w || ( P / y ) )
84		prmz 12052	. . . . . . . 8 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
85	84	ad2antrl 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. ZZ )
86	49	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. ZZ )
87	45	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> P e. ZZ )
88		simprr 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w || ( P / y ) )
89	39	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> y || P )
90	44	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> y =/= 0 )
91		divconjdvds 11796	. . . . . . . 8 |- ( ( y || P /\ y =/= 0 ) -> ( P / y ) || P )
92	89, 90, 91	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) || P )
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 11779	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w || P )
94	85	zred 9321	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. RR )
95	94	resqcld 10622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) e. RR )
96	60	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> P e. RR )
97	81	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
98		eluz2nn 9512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P / y ) e. NN )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. NN )
100	99	nnred 8878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. RR )
101	100	resqcld 10622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) e. RR )
102		dvdsle 11791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ ( P / y ) e. NN ) -> ( w || ( P / y ) -> w <_ ( P / y ) ) )
103	85, 99, 102	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w || ( P / y ) -> w <_ ( P / y ) ) )
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w <_ ( P / y ) )
105		prmnn 12051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
106	105	nnnn0d 9175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Prime -> w e. NN0 )
107	106	nn0ge0d 9178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Prime -> 0 <_ w )
108	107	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ w )
109		0red 7908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 e. RR )
110		1red 7922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 1 e. RR )
111		0le1 8387	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ 1 )
113	99	nnge1d 8908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 1 <_ ( P / y ) )
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ ( P / y ) )
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w <_ ( P / y ) <-> ( w ^ 2 ) <_ ( ( P / y ) ^ 2 ) ) )
116	104, 115	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) <_ ( ( P / y ) ^ 2 ) )
117	60	recnd 7935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. CC )
118	41	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. NN )
119	118	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. NN )
120	119	nnap0d 8911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y # 0 )
121	117, 51, 120	sqdivapd 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) = ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) )
122	117	sqvald 10593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
123	50	resqcld 10622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
124		eluz2nn 9512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN )
126	125	nnrpd 9638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. RR+ )
127	126	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. RR+ )
128		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P < ( y ^ 2 ) )
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P x. P ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) )
130	122, 129	eqbrtrd 4009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) )
131	60	resqcld 10622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) e. RR )
132	119	nnsqcld 10617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN )
133	132	nnrpd 9638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR+ )
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) < P <-> ( P ^ 2 ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) ) )
135	130, 134	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) < P )
136	121, 135	eqbrtrd 4009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) < P )
137	136	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) < P )
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) < P )
139	95, 96, 138	ltled 8025	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) <_ P )
140		oveq1 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z ^ 2 ) = ( w ^ 2 ) )
141	140	breq1d 3997	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( w ^ 2 ) <_ P ) )
142		breq1 3990	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z || P <-> w || P ) )
143	142	notbid 662	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( -. z || P <-> -. w || P ) )
144	141, 143	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( ( w ^ 2 ) <_ P -> -. w || P ) ) )
145	11	ad4antr 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
146		simprl 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. Prime )
147	144, 145, 146	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( w ^ 2 ) <_ P -> -. w || P ) )
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> -. w || P )
149	93, 148	pm2.21fal 1368	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> F. )
150	83, 149	rexlimddv 2592	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> F. )
151	150	inegd 1367	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> -. X || P )
152		zsqcl 10533	. . . . 5 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
153	17, 152	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
154		zlelttric 9244	. . . 4 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P \/ P < ( y ^ 2 ) ) )
155	153, 35, 154	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P \/ P < ( y ^ 2 ) ) )
156	32, 151, 155	mpjaodan 793	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> -. X || P )
157	4, 156	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> -. X || P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   F. wfal 1353   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   x. cmul 7766   < clt 7941   <_ cle 7942   - cmin 8077   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   RR+crp 9597   ...cfz 9952   ^cexp 10462   || cdvds 11736   Primecprime 12048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-prm 12049

This theorem is referenced by:  isprm5  12083