Theorem isprm5lem 12334

Description: Lemma for isprm5 12335. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of P). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprm5lem.p	|- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
isprm5lem.z	|- ( ph -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
isprm5lem.x	|- ( ph -> X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isprm5lem	|- ( ph -> -. X || P )

Distinct variable groups:   z, P   z, X

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem isprm5lem

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
2		elfzuz 10113	. . 3 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		exprmfct 12331	. . 3 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. y e. Prime y || X )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( ph -> E. y e. Prime y || X )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> ( y ^ 2 ) <_ P )
6		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
7	6	breq1d 4044	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( y ^ 2 ) <_ P ) )
8		breq1 4037	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z || P <-> y || P ) )
9	8	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z || P <-> -. y || P ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( ( y ^ 2 ) <_ P -> -. y || P ) ) )
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
13		simplrl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> y e. Prime )
14	10, 12, 13	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P -> -. y || P ) )
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> -. y || P )
16		prmz 12304	. . . . . . 7 |- ( y e. Prime -> y e. ZZ )
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. ZZ )
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y e. ZZ )
19		elfzelz 10117	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X e. ZZ )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ZZ )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
22	21	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		eluzelz 9627	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
27	26	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
28		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> y || X )
29	28	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y || X )
30		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> X || P )
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12012	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y || P )
32	15, 31	mtand 666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> -. X || P )
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y e. ZZ )
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> P e. ZZ )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y || X )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> X || P )
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y || P )
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. ZZ )
41		prmnn 12303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Prime -> y e. NN )
42	41	nnne0d 9052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Prime -> y =/= 0 )
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y =/= 0 )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y =/= 0 )
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. ZZ )
46		dvdsval2 11972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ P e. ZZ ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( P / y ) e. ZZ )
50	40	zred 9465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. RR )
51	50	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. CC )
52	51	mulid2d 8062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
53		2nn 9169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
54		fzssnn 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. NN -> ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
56	55, 1	sselid 3182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. NN )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X e. NN )
58	57	nnred 9020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X e. RR )
59	25	zred 9465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. RR )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. RR )
61		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y || X )
62		dvdsle 12026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ X e. NN ) -> ( y || X -> y <_ X ) )
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y || X -> y <_ X ) )
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y <_ X )
65		elfzle2 10120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X <_ ( P - 1 ) )
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X <_ ( P - 1 ) )
67		zltlem1 9400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( X < P <-> X <_ ( P - 1 ) ) )
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X < P <-> X <_ ( P - 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X < P )
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X < P )
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y < P )
72	52, 71	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( 1 x. y ) < P )
73		1red 8058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> 1 e. RR )
74	41	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Prime -> y e. RR+ )
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. RR+ )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. RR+ )
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( 1 x. y ) < P <-> 1 < ( P / y ) ) )
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> 1 < ( P / y ) )
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> 1 < ( P / y ) )
80		eluz2b1 9692	. . . . . . 7 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( P / y ) e. ZZ /\ 1 < ( P / y ) ) )
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82		exprmfct 12331	. . . . . 6 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. w e. Prime w || ( P / y ) )
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> E. w e. Prime w || ( P / y ) )
84		prmz 12304	. . . . . . . 8 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. ZZ )
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. ZZ )
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> P e. ZZ )
88		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w || ( P / y ) )
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> y || P )
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> y =/= 0 )
91		divconjdvds 12031	. . . . . . . 8 |- ( ( y || P /\ y =/= 0 ) -> ( P / y ) || P )
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) || P )
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12012	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w || P )
94	85	zred 9465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. RR )
95	94	resqcld 10808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) e. RR )
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> P e. RR )
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
98		eluz2nn 9657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P / y ) e. NN )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. NN )
100	99	nnred 9020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. RR )
101	100	resqcld 10808	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) e. RR )
102		dvdsle 12026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ ( P / y ) e. NN ) -> ( w || ( P / y ) -> w <_ ( P / y ) ) )
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w || ( P / y ) -> w <_ ( P / y ) ) )
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w <_ ( P / y ) )
105		prmnn 12303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
106	105	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Prime -> w e. NN0 )
107	106	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Prime -> 0 <_ w )
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ w )
109		0red 8044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 e. RR )
110		1red 8058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 1 e. RR )
111		0le1 8525	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ 1 )
113	99	nnge1d 9050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 1 <_ ( P / y ) )
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ ( P / y ) )
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w <_ ( P / y ) <-> ( w ^ 2 ) <_ ( ( P / y ) ^ 2 ) ) )
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) <_ ( ( P / y ) ^ 2 ) )
117	60	recnd 8072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. CC )
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. NN )
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. NN )
120	119	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y # 0 )
121	117, 51, 120	sqdivapd 10795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) = ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) )
122	117	sqvald 10779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
123	50	resqcld 10808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
124		eluz2nn 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN )
126	125	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. RR+ )
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. RR+ )
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P < ( y ^ 2 ) )
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P x. P ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) )
130	122, 129	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) )
131	60	resqcld 10808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) e. RR )
132	119	nnsqcld 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN )
133	132	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR+ )
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) < P <-> ( P ^ 2 ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) ) )
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) < P )
136	121, 135	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) < P )
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) < P )
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) < P )
139	95, 96, 138	ltled 8162	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) <_ P )
140		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z ^ 2 ) = ( w ^ 2 ) )
141	140	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( w ^ 2 ) <_ P ) )
142		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z || P <-> w || P ) )
143	142	notbid 668	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( -. z || P <-> -. w || P ) )
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( ( w ^ 2 ) <_ P -> -. w || P ) ) )
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
146		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. Prime )
147	144, 145, 146	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( w ^ 2 ) <_ P -> -. w || P ) )
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> -. w || P )
149	93, 148	pm2.21fal 1384	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> F. )
150	83, 149	rexlimddv 2619	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> F. )
151	150	inegd 1383	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> -. X || P )
152		zsqcl 10719	. . . . 5 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
153	17, 152	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
154		zlelttric 9388	. . . 4 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P \/ P < ( y ^ 2 ) ) )
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P \/ P < ( y ^ 2 ) ) )
156	32, 151, 155	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> -. X || P )
157	4, 156	rexlimddv 2619	1 |- ( ph -> -. X || P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   F. wfal 1369   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   ...cfz 10100   ^cexp 10647   || cdvds 11969   Primecprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-prm 12301

This theorem is referenced by:  isprm5  12335