isprm5lem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem isprm5lem 12712

Description: Lemma for isprm5 12713. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of

). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isprm5lem.p
isprm5lem.z
isprm5lem.x

**Assertion**
Ref	Expression
isprm5lem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem isprm5lem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3
2		elfzuz 10255	. . 3
3		exprmfct 12709	. . 3
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2
5		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
6		oveq1 6024	. . . . . . . 8
7	6	breq1d 4098	. . . . . . 7
8		breq1 4091	. . . . . . . 8
9	8	notbid 673	. . . . . . 7
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
13		simplrl 537	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
14	10, 12, 13	rspcdva 2915	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		prmz 12682	. . . . . . 7
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10259	. . . . . . . 8
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8
24		eluzelz 9764	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
27	26	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simplrr 538	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12390	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	15, 31	mtand 671	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12390	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41		prmnn 12681	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnne0d 9187	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
46		dvdsval2 12350	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	40	zred 9601	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	recnd 8207	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	mulid2d 8197	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53		2nn 9304	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		fzssnn 10302	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55, 1	sselid 3225	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nnred 9155	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
59	25	zred 9601	. . . . . . . . . . . 12
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
61		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
62		dvdsle 12404	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
65		elfzle2 10262	. . . . . . . . . . . . . 14
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
67		zltlem1 9536	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8303	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
72	52, 71	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
73		1red 8193	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74	41	nnrpd 9928	. . . . . . . . . . . 12
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9978	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		eluz2b1 9834	. . . . . . 7 $/\$
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		exprmfct 12709	. . . . . 6
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		prmz 12682	. . . . . . . 8
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simprr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		divconjdvds 12409	. . . . . . . 8 $/\$
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12390	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	85	zred 9601	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	resqcld 10960	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		eluz2nn 9799	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnred 9155	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	resqcld 10960	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		dvdsle 12404	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		prmnn 12681	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	nnnn0d 9454	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . 12
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		0red 8179	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		1red 8193	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0le1 8660	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	99	nnge1d 9185	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8302	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	60	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	nnap0d 9188	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ #
121	117, 51, 120	sqdivapd 10947	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123	50	resqcld 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124		eluz2nn 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	125	nnrpd 9928	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9987	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	122, 129	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	60	resqcld 10960	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
132	119	nnsqcld 10955	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnrpd 9928	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9983	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
136	121, 135	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8303	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	95, 96, 138	ltled 8297	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10
141	140	breq1d 4098	. . . . . . . . 9
142		breq1 4091	. . . . . . . . . 10
143	142	notbid 673	. . . . . . . . 9
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simprl 531	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 145, 146	rspcdva 2915	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	93, 148	pm2.21fal 1417	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	83, 149	rexlimddv 2655	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	inegd 1416	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
152		zsqcl 10871	. . . . 5
153	17, 152	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
154		zlelttric 9523	. . . 4 $/\$ $\/$
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
156	32, 151, 155	mpjaodan 805	. 2 $/\$ $/\$
157	4, 156	rexlimddv 2655	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715

wfal 1402

wcel 2202

wne 2402

wral 2510

wrex 2511

wss 3200 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6017

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

cmul 8036

clt 8213

cle 8214

cmin 8349

cdiv 8851

cn 9142

c2 9193

cz 9478

cuz 9754

crp 9887

cfz 10242

cexp 10799

cdvds 12347

cprime 12678

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-1o 6581 df-2o 6582 df-er 6701 df-en 6909 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-fl 10529 df-mod 10584 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-dvds 12348 df-prm 12679

This theorem is referenced by: isprm5 12713

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