isprm5lem - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isprm5lem		Unicode version

Theorem isprm5lem 12538

Description: Lemma for isprm5 12539. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of

). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isprm5lem.p
isprm5lem.z
isprm5lem.x

**Assertion**
Ref	Expression
isprm5lem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem isprm5lem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3
2		elfzuz 10163	. . 3
3		exprmfct 12535	. . 3
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2
5		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
6		oveq1 5964	. . . . . . . 8
7	6	breq1d 4061	. . . . . . 7
8		breq1 4054	. . . . . . . 8
9	8	notbid 669	. . . . . . 7
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
13		simplrl 535	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
14	10, 12, 13	rspcdva 2886	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		prmz 12508	. . . . . . 7
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10167	. . . . . . . 8
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8
24		eluzelz 9677	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
27	26	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simplrr 536	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12216	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	15, 31	mtand 667	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12216	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41		prmnn 12507	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnne0d 9101	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
46		dvdsval2 12176	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	40	zred 9515	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	recnd 8121	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	mulid2d 8111	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53		2nn 9218	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		fzssnn 10210	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55, 1	sselid 3195	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nnred 9069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
59	25	zred 9515	. . . . . . . . . . . 12
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
61		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
62		dvdsle 12230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
65		elfzle2 10170	. . . . . . . . . . . . . 14
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
67		zltlem1 9450	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8217	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
72	52, 71	eqbrtrd 4073	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
73		1red 8107	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74	41	nnrpd 9836	. . . . . . . . . . . 12
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9886	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		eluz2b1 9742	. . . . . . 7 $/\$
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		exprmfct 12535	. . . . . 6
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		prmz 12508	. . . . . . . 8
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		divconjdvds 12235	. . . . . . . 8 $/\$
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12216	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	85	zred 9515	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	resqcld 10866	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		eluz2nn 9707	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnred 9069	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	resqcld 10866	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		dvdsle 12230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		prmnn 12507	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	nnnn0d 9368	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	nn0ge0d 9371	. . . . . . . . . . . 12
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		0red 8093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		1red 8107	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0le1 8574	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	99	nnge1d 9099	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8216	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10872	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	60	recnd 8121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	nnap0d 9102	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ #
121	117, 51, 120	sqdivapd 10853	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	sqvald 10837	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123	50	resqcld 10866	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124		eluz2nn 9707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	125	nnrpd 9836	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9895	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	122, 129	eqbrtrd 4073	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	60	resqcld 10866	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
132	119	nnsqcld 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnrpd 9836	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9891	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
136	121, 135	eqbrtrd 4073	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	95, 96, 138	ltled 8211	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		oveq1 5964	. . . . . . . . . 10
141	140	breq1d 4061	. . . . . . . . 9
142		breq1 4054	. . . . . . . . . 10
143	142	notbid 669	. . . . . . . . 9
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 145, 146	rspcdva 2886	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	93, 148	pm2.21fal 1393	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	83, 149	rexlimddv 2629	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	inegd 1392	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
152		zsqcl 10777	. . . . 5
153	17, 152	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
154		zlelttric 9437	. . . 4 $/\$ $\/$
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
156	32, 151, 155	mpjaodan 800	. 2 $/\$ $/\$
157	4, 156	rexlimddv 2629	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710

wfal 1378

wcel 2177

wne 2377

wral 2485

wrex 2486

wss 3170 class class class wbr 4051

cfv 5280 (class class class)co 5957

cr 7944

cc0 7945

c1 7946

cmul 7950

clt 8127

cle 8128

cmin 8263

cdiv 8765

cn 9056

c2 9107

cz 9392

cuz 9668

crp 9795

cfz 10150

cexp 10705

cdvds 12173

cprime 12504

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4167 ax-sep 4170 ax-nul 4178 ax-pow 4226 ax-pr 4261 ax-un 4488 ax-setind 4593 ax-iinf 4644 ax-cnex 8036 ax-resscn 8037 ax-1cn 8038 ax-1re 8039 ax-icn 8040 ax-addcl 8041 ax-addrcl 8042 ax-mulcl 8043 ax-mulrcl 8044 ax-addcom 8045 ax-mulcom 8046 ax-addass 8047 ax-mulass 8048 ax-distr 8049 ax-i2m1 8050 ax-0lt1 8051 ax-1rid 8052 ax-0id 8053 ax-rnegex 8054 ax-precex 8055 ax-cnre 8056 ax-pre-ltirr 8057 ax-pre-ltwlin 8058 ax-pre-lttrn 8059 ax-pre-apti 8060 ax-pre-ltadd 8061 ax-pre-mulgt0 8062 ax-pre-mulext 8063 ax-arch 8064 ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-nel 2473 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rmo 2493 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3003 df-csb 3098 df-dif 3172 df-un 3174 df-in 3176 df-ss 3183 df-nul 3465 df-if 3576 df-pw 3623 df-sn 3644 df-pr 3645 df-op 3647 df-uni 3857 df-int 3892 df-iun 3935 df-br 4052 df-opab 4114 df-mpt 4115 df-tr 4151 df-id 4348 df-po 4351 df-iso 4352 df-iord 4421 df-on 4423 df-ilim 4424 df-suc 4426 df-iom 4647 df-xp 4689 df-rel 4690 df-cnv 4691 df-co 4692 df-dm 4693 df-rn 4694 df-res 4695 df-ima 4696 df-iota 5241 df-fun 5282 df-fn 5283 df-f 5284 df-f1 5285 df-fo 5286 df-f1o 5287 df-fv 5288 df-riota 5912 df-ov 5960 df-oprab 5961 df-mpo 5962 df-1st 6239 df-2nd 6240 df-recs 6404 df-frec 6490 df-1o 6515 df-2o 6516 df-er 6633 df-en 6841 df-pnf 8129 df-mnf 8130 df-xr 8131 df-ltxr 8132 df-le 8133 df-sub 8265 df-neg 8266 df-reap 8668 df-ap 8675 df-div 8766 df-inn 9057 df-2 9115 df-3 9116 df-4 9117 df-n0 9316 df-z 9393 df-uz 9669 df-q 9761 df-rp 9796 df-fz 10151 df-fzo 10285 df-fl 10435 df-mod 10490 df-seqfrec 10615 df-exp 10706 df-cj 11228 df-re 11229 df-im 11230 df-rsqrt 11384 df-abs 11385 df-dvds 12174 df-prm 12505

This theorem is referenced by: isprm5 12539

W3C validator