isprm5lem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem isprm5lem 12838

Description: Lemma for isprm5 12839. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of

). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isprm5lem.p
isprm5lem.z
isprm5lem.x

**Assertion**
Ref	Expression
isprm5lem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem isprm5lem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3
2		elfzuz 10355	. . 3
3		exprmfct 12835	. . 3
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2
5		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
6		oveq1 6057	. . . . . . . 8
7	6	breq1d 4119	. . . . . . 7
8		breq1 4112	. . . . . . . 8
9	8	notbid 673	. . . . . . 7
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
13		simplrl 537	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
14	10, 12, 13	rspcdva 2926	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		prmz 12808	. . . . . . 7
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10359	. . . . . . . 8
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8
24		eluzelz 9863	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
27	26	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simplrr 538	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12516	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	15, 31	mtand 671	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12516	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41		prmnn 12807	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnne0d 9282	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
46		dvdsval2 12476	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	40	zred 9700	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	recnd 8302	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	mullidd 8292	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53		2nn 9399	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		fzssnn 10402	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55, 1	sselid 3236	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nnred 9250	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
59	25	zred 9700	. . . . . . . . . . . 12
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
61		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
62		dvdsle 12530	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
65		elfzle2 10362	. . . . . . . . . . . . . 14
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
67		zltlem1 9635	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8398	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
72	52, 71	eqbrtrd 4131	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
73		1red 8289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74	41	nnrpd 10027	. . . . . . . . . . . 12
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 60, 76	ltmuldivd 10077	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		eluz2b1 9933	. . . . . . 7 $/\$
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		exprmfct 12835	. . . . . 6
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		prmz 12808	. . . . . . . 8
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simprr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		divconjdvds 12535	. . . . . . . 8 $/\$
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12516	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	85	zred 9700	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	resqcld 11061	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		eluz2nn 9898	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnred 9250	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	resqcld 11061	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		dvdsle 12530	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		prmnn 12807	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	nnnn0d 9553	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . 12
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		0red 8275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		1red 8289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0le1 8755	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	99	nnge1d 9280	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8397	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 11067	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	60	recnd 8302	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	nnap0d 9283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ #
121	117, 51, 120	sqdivapd 11048	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	sqvald 11032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123	50	resqcld 11061	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124		eluz2nn 9898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	125	nnrpd 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 10086	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	122, 129	eqbrtrd 4131	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	60	resqcld 11061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
132	119	nnsqcld 11056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnrpd 10027	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 10082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
136	121, 135	eqbrtrd 4131	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8398	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	95, 96, 138	ltled 8392	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10
141	140	breq1d 4119	. . . . . . . . 9
142		breq1 4112	. . . . . . . . . 10
143	142	notbid 673	. . . . . . . . 9
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simprl 531	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 145, 146	rspcdva 2926	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	93, 148	pm2.21fal 1418	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	83, 149	rexlimddv 2665	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	inegd 1417	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
152		zsqcl 10972	. . . . 5
153	17, 152	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
154		zlelttric 9622	. . . 4 $/\$ $\/$
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
156	32, 151, 155	mpjaodan 806	. 2 $/\$ $/\$
157	4, 156	rexlimddv 2665	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wfal 1403

wcel 2203

wne 2412

wral 2520

wrex 2521

wss 3211 class class class wbr 4109

cfv 5352 (class class class)co 6050

cr 8126

cc0 8127

c1 8128

cmul 8132

clt 8308

cle 8309

cmin 8444

cdiv 8946

cn 9237

c2 9288

cz 9577

cuz 9853

crp 9986

cfz 10342

cexp 10900

cdvds 12473

cprime 12804

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-er 6767 df-en 6976 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-dvds 12474 df-prm 12805

This theorem is referenced by: isprm5 12839

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