Theorem isprm5lem 12405

Description: Lemma for isprm5 12406. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of P). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprm5lem.p	|- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
isprm5lem.z	|- ( ph -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
isprm5lem.x	|- ( ph -> X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isprm5lem	|- ( ph -> -. X || P )

Distinct variable groups:   z, P   z, X

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem isprm5lem

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) )
2		elfzuz 10142	. . 3 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		exprmfct 12402	. . 3 |- ( X e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. y e. Prime y || X )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( ph -> E. y e. Prime y || X )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> ( y ^ 2 ) <_ P )
6		oveq1 5950	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
7	6	breq1d 4053	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( y ^ 2 ) <_ P ) )
8		breq1 4046	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z || P <-> y || P ) )
9	8	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z || P <-> -. y || P ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( ( y ^ 2 ) <_ P -> -. y || P ) ) )
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
13		simplrl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> y e. Prime )
14	10, 12, 13	rspcdva 2881	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P -> -. y || P ) )
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> -. y || P )
16		prmz 12375	. . . . . . 7 |- ( y e. Prime -> y e. ZZ )
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. ZZ )
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y e. ZZ )
19		elfzelz 10146	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X e. ZZ )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ZZ )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
22	21	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		eluzelz 9656	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
27	26	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
28		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ X || P ) -> y || X )
29	28	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y || X )
30		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> X || P )
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12083	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) /\ X || P ) -> y || P )
32	15, 31	mtand 666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ ( y ^ 2 ) <_ P ) -> -. X || P )
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y e. ZZ )
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> X e. ZZ )
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> P e. ZZ )
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> P e. ZZ )
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y || X )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> X || P )
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> y || P )
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. ZZ )
41		prmnn 12374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Prime -> y e. NN )
42	41	nnne0d 9080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Prime -> y =/= 0 )
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y =/= 0 )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y =/= 0 )
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. ZZ )
46		dvdsval2 12043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ P e. ZZ ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( y || P <-> ( P / y ) e. ZZ ) )
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( P / y ) e. ZZ )
50	40	zred 9494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. RR )
51	50	recnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. CC )
52	51	mulid2d 8090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
53		2nn 9197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
54		fzssnn 10189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. NN -> ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
56	55, 1	sselid 3190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. NN )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X e. NN )
58	57	nnred 9048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X e. RR )
59	25	zred 9494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. RR )
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. RR )
61		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y || X )
62		dvdsle 12097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ X e. NN ) -> ( y || X -> y <_ X ) )
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y || X -> y <_ X ) )
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y <_ X )
65		elfzle2 10149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> X <_ ( P - 1 ) )
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X <_ ( P - 1 ) )
67		zltlem1 9429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( X < P <-> X <_ ( P - 1 ) ) )
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X < P <-> X <_ ( P - 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X < P )
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> X < P )
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y < P )
72	52, 71	eqbrtrd 4065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( 1 x. y ) < P )
73		1red 8086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> 1 e. RR )
74	41	nnrpd 9815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Prime -> y e. RR+ )
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. RR+ )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. RR+ )
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( 1 x. y ) < P <-> 1 < ( P / y ) ) )
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> 1 < ( P / y ) )
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> 1 < ( P / y ) )
80		eluz2b1 9721	. . . . . . 7 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( P / y ) e. ZZ /\ 1 < ( P / y ) ) )
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82		exprmfct 12402	. . . . . 6 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. w e. Prime w || ( P / y ) )
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> E. w e. Prime w || ( P / y ) )
84		prmz 12375	. . . . . . . 8 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. ZZ )
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. ZZ )
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> P e. ZZ )
88		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w || ( P / y ) )
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> y || P )
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> y =/= 0 )
91		divconjdvds 12102	. . . . . . . 8 |- ( ( y || P /\ y =/= 0 ) -> ( P / y ) || P )
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) || P )
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12083	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w || P )
94	85	zred 9494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. RR )
95	94	resqcld 10842	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) e. RR )
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> P e. RR )
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
98		eluz2nn 9686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P / y ) e. NN )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. NN )
100	99	nnred 9048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( P / y ) e. RR )
101	100	resqcld 10842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) e. RR )
102		dvdsle 12097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ ( P / y ) e. NN ) -> ( w || ( P / y ) -> w <_ ( P / y ) ) )
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w || ( P / y ) -> w <_ ( P / y ) ) )
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w <_ ( P / y ) )
105		prmnn 12374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
106	105	nnnn0d 9347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Prime -> w e. NN0 )
107	106	nn0ge0d 9350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. Prime -> 0 <_ w )
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ w )
109		0red 8072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 e. RR )
110		1red 8086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 1 e. RR )
111		0le1 8553	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ 1 )
113	99	nnge1d 9078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 1 <_ ( P / y ) )
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> 0 <_ ( P / y ) )
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w <_ ( P / y ) <-> ( w ^ 2 ) <_ ( ( P / y ) ^ 2 ) ) )
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) <_ ( ( P / y ) ^ 2 ) )
117	60	recnd 8100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. CC )
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> y e. NN )
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y e. NN )
120	119	nnap0d 9081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> y # 0 )
121	117, 51, 120	sqdivapd 10829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) = ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) )
122	117	sqvald 10813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
123	50	resqcld 10842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
124		eluz2nn 9686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN )
126	125	nnrpd 9815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. RR+ )
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P e. RR+ )
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> P < ( y ^ 2 ) )
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P x. P ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) )
130	122, 129	eqbrtrd 4065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) )
131	60	resqcld 10842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) e. RR )
132	119	nnsqcld 10837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN )
133	132	nnrpd 9815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR+ )
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) < P <-> ( P ^ 2 ) < ( P x. ( y ^ 2 ) ) ) )
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P ^ 2 ) / ( y ^ 2 ) ) < P )
136	121, 135	eqbrtrd 4065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) < P )
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( P / y ) ^ 2 ) < P )
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) < P )
139	95, 96, 138	ltled 8190	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( w ^ 2 ) <_ P )
140		oveq1 5950	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z ^ 2 ) = ( w ^ 2 ) )
141	140	breq1d 4053	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( w ^ 2 ) <_ P ) )
142		breq1 4046	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z || P <-> w || P ) )
143	142	notbid 668	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( -. z || P <-> -. w || P ) )
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( ( w ^ 2 ) <_ P -> -. w || P ) ) )
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) )
146		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> w e. Prime )
147	144, 145, 146	rspcdva 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> ( ( w ^ 2 ) <_ P -> -. w || P ) )
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> -. w || P )
149	93, 148	pm2.21fal 1392	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) /\ ( w e. Prime /\ w || ( P / y ) ) ) -> F. )
150	83, 149	rexlimddv 2627	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) /\ X || P ) -> F. )
151	150	inegd 1391	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) /\ P < ( y ^ 2 ) ) -> -. X || P )
152		zsqcl 10753	. . . . 5 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
153	17, 152	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
154		zlelttric 9416	. . . 4 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P \/ P < ( y ^ 2 ) ) )
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ P \/ P < ( y ^ 2 ) ) )
156	32, 151, 155	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. Prime /\ y || X ) ) -> -. X || P )
157	4, 156	rexlimddv 2627	1 |- ( ph -> -. X || P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   F. wfal 1377   e. wcel 2175   =/= wne 2375   A.wral 2483   E.wrex 2484   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   x. cmul 7929   < clt 8106   <_ cle 8107   - cmin 8242   / cdiv 8744   NNcn 9035   2c2 9086   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   RR+crp 9774   ...cfz 10129   ^cexp 10681   || cdvds 12040   Primecprime 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041  df-prm 12372

This theorem is referenced by:  isprm5  12406