isprm5lem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem isprm5lem 12678

Description: Lemma for isprm5 12679. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of

). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isprm5lem.p
isprm5lem.z
isprm5lem.x

**Assertion**
Ref	Expression
isprm5lem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem isprm5lem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3
2		elfzuz 10229	. . 3
3		exprmfct 12675	. . 3
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2
5		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
6		oveq1 6014	. . . . . . . 8
7	6	breq1d 4093	. . . . . . 7
8		breq1 4086	. . . . . . . 8
9	8	notbid 671	. . . . . . 7
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
13		simplrl 535	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
14	10, 12, 13	rspcdva 2912	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		prmz 12648	. . . . . . 7
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10233	. . . . . . . 8
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8
24		eluzelz 9743	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
27	26	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simplrr 536	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12356	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	15, 31	mtand 669	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12356	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41		prmnn 12647	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnne0d 9166	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
46		dvdsval2 12316	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	40	zred 9580	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	recnd 8186	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	mulid2d 8176	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53		2nn 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		fzssnn 10276	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55, 1	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nnred 9134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
59	25	zred 9580	. . . . . . . . . . . 12
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
61		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
62		dvdsle 12370	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
65		elfzle2 10236	. . . . . . . . . . . . . 14
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
67		zltlem1 9515	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8282	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
72	52, 71	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
73		1red 8172	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74	41	nnrpd 9902	. . . . . . . . . . . 12
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9952	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		eluz2b1 9808	. . . . . . 7 $/\$
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		exprmfct 12675	. . . . . 6
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		prmz 12648	. . . . . . . 8
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		divconjdvds 12375	. . . . . . . 8 $/\$
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12356	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	85	zred 9580	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	resqcld 10933	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		eluz2nn 9773	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnred 9134	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	resqcld 10933	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		dvdsle 12370	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		prmnn 12647	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	nnnn0d 9433	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	nn0ge0d 9436	. . . . . . . . . . . 12
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		0red 8158	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		1red 8172	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0le1 8639	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	99	nnge1d 9164	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8281	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10939	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	60	recnd 8186	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	nnap0d 9167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ #
121	117, 51, 120	sqdivapd 10920	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	sqvald 10904	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123	50	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124		eluz2nn 9773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	125	nnrpd 9902	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9961	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	122, 129	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	60	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
132	119	nnsqcld 10928	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnrpd 9902	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
136	121, 135	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8282	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	95, 96, 138	ltled 8276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		oveq1 6014	. . . . . . . . . 10
141	140	breq1d 4093	. . . . . . . . 9
142		breq1 4086	. . . . . . . . . 10
143	142	notbid 671	. . . . . . . . 9
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 145, 146	rspcdva 2912	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	93, 148	pm2.21fal 1415	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	83, 149	rexlimddv 2653	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	inegd 1414	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
152		zsqcl 10844	. . . . 5
153	17, 152	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
154		zlelttric 9502	. . . 4 $/\$ $\/$
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
156	32, 151, 155	mpjaodan 803	. 2 $/\$ $/\$
157	4, 156	rexlimddv 2653	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713

wfal 1400

wcel 2200

wne 2400

wral 2508

wrex 2509

wss 3197 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6007

cr 8009

cc0 8010

c1 8011

cmul 8015

clt 8192

cle 8193

cmin 8328

cdiv 8830

cn 9121

c2 9172

cz 9457

cuz 9733

crp 9861

cfz 10216

cexp 10772

cdvds 12313

cprime 12644

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-1o 6568 df-2o 6569 df-er 6688 df-en 6896 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-fl 10502 df-mod 10557 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-cj 11368 df-re 11369 df-im 11370 df-rsqrt 11524 df-abs 11525 df-dvds 12314 df-prm 12645

This theorem is referenced by: isprm5 12679

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