isprm5lem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem isprm5lem 12124

Description: Lemma for isprm5 12125. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of

). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isprm5lem.p
isprm5lem.z
isprm5lem.x

**Assertion**
Ref	Expression
isprm5lem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem isprm5lem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3
2		elfzuz 10007	. . 3
3		exprmfct 12121	. . 3
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2
5		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
6		oveq1 5876	. . . . . . . 8
7	6	breq1d 4010	. . . . . . 7
8		breq1 4003	. . . . . . . 8
9	8	notbid 667	. . . . . . 7
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
13		simplrl 535	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
14	10, 12, 13	rspcdva 2846	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16		prmz 12094	. . . . . . 7
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10011	. . . . . . . 8
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8
24		eluzelz 9526	. . . . . . . 8
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
27	26	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simplrr 536	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantlr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 11821	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	15, 31	mtand 665	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 11821	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41		prmnn 12093	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnne0d 8953	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
46		dvdsval2 11781	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	40	zred 9364	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	mulid2d 7966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53		2nn 9069	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		fzssnn 10054	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55, 1	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nnred 8921	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
59	25	zred 9364	. . . . . . . . . . . 12
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
61		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
62		dvdsle 11833	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
65		elfzle2 10014	. . . . . . . . . . . . . 14
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
67		zltlem1 9299	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8072	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
72	52, 71	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
73		1red 7963	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74	41	nnrpd 9681	. . . . . . . . . . . 12
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9731	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		eluz2b1 9590	. . . . . . 7 $/\$
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		exprmfct 12121	. . . . . 6
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		prmz 12094	. . . . . . . 8
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		divconjdvds 11838	. . . . . . . 8 $/\$
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 11821	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	85	zred 9364	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	resqcld 10665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		eluz2nn 9555	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnred 8921	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	resqcld 10665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		dvdsle 11833	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		prmnn 12093	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	nn0ge0d 9221	. . . . . . . . . . . 12
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		0red 7949	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		1red 7963	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0le1 8428	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	99	nnge1d 8951	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8071	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	60	recnd 7976	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	nnap0d 8954	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ #
121	117, 51, 120	sqdivapd 10652	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123	50	resqcld 10665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124		eluz2nn 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	125	nnrpd 9681	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	122, 129	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	60	resqcld 10665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
132	119	nnsqcld 10660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	nnrpd 9681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9736	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
136	121, 135	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8072	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	95, 96, 138	ltled 8066	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		oveq1 5876	. . . . . . . . . 10
141	140	breq1d 4010	. . . . . . . . 9
142		breq1 4003	. . . . . . . . . 10
143	142	notbid 667	. . . . . . . . 9
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 145, 146	rspcdva 2846	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	93, 148	pm2.21fal 1373	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	83, 149	rexlimddv 2599	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	inegd 1372	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
152		zsqcl 10576	. . . . 5
153	17, 152	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
154		zlelttric 9287	. . . 4 $/\$ $\/$
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
156	32, 151, 155	mpjaodan 798	. 2 $/\$ $/\$
157	4, 156	rexlimddv 2599	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708

wfal 1358

wcel 2148

wne 2347

wral 2455

wrex 2456

wss 3129 class class class wbr 4000

cfv 5212 (class class class)co 5869

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cmin 8118

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

cz 9242

cuz 9517

crp 9640

cfz 9995

cexp 10505

cdvds 11778

cprime 12090

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-er 6529 df-en 6735 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-prm 12091

This theorem is referenced by: isprm5 12125

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