Theorem dvdstrd 12256

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 12254. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
dvdstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvdstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)
3		dvdstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		dvdstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		dvdstr 12254	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ℤcz 9407   ∥ cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  bitsmod  12382  isprm5lem  12578  pcpremul  12731  pcdvdstr  12765  pockthlem  12794  4sqlem8  12823  znunit  14536  lgsmod  15618  2sqlem3  15709  2sqlem8  15715