Theorem dvdstrd 12141

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 12139. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
dvdstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvdstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)
3		dvdstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		dvdstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		dvdstr 12139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ℤcz 9372   ∥ cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  bitsmod  12267  isprm5lem  12463  pcpremul  12616  pcdvdstr  12650  pockthlem  12679  4sqlem8  12708  znunit  14421  lgsmod  15503  2sqlem3  15594  2sqlem8  15600