Theorem elfzo3 10520

Description: Express membership in a half-open integer interval in terms of the "less than or equal" and "less than" predicates on integers, resp. K e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ K, K e. ( K..^ N ) <-> K < N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo3	|- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( K..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1009	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
2		elfzo2 10506	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
3		eluzelz 9881	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
4		fzolb 10510	. . . . . 6 |- ( K e. ( K..^ N ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
5		3anass 1009	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K < N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( K e. ( K..^ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
7	6	baib 927	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K e. ( K..^ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
8	3, 7	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( K..^ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
9	8	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( K..^ N ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
10	1, 2, 9	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( K..^ N ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   < clt 8324   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by: (None)