Theorem elfzo3 9781

Description: Express membership in a half-open integer interval in terms of the "less than or equal" and "less than" predicates on integers, resp. 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐾, 𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 934	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2		elfzo2 9768	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
3		eluzelz 9185	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		fzolb 9771	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
5		3anass 934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
7	6	baib 872	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
8	3, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
9	8	pm5.32i 445	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10	1, 2, 9	3bitr4i 211	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝑁)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706   < clt 7672  ℤcz 8906  ℤ_≥cuz 9176  ..^cfzo 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-fzo 9761

This theorem is referenced by: (None)