Theorem elfzofz 10524

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	|- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 10512	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzouz2 10523	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
3		elfzuzb 10377	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   ZZ>=cuz 9876   ...cfz 10366  ..^cfzo 10503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367  df-fzo 10504

This theorem is referenced by:  fzossfz  10527  elfzom1elp1fzo  10574  seqfeq4g  10922  swrdfv0  11376  pfxsuffeqwrdeq  11420  telfsumo  12183  telfsumo2  12184  fsumparts  12187  prodfap0  12262  hashgcdlem  12966  wlkvtxiedg  16472  wlkvtxiedgg  16473  wlk1walkdom  16486  upgriswlkdc  16487  trlreslem  16516  trlsegvdeglem1  16587  eupth2lem3lem3fi  16597  eupth2lem3lem4fi  16600  eupth2lem3lem7fi  16601