ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzp1 Unicode version

Theorem elfzp1 9859
Description: Append an element to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzp1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( M ... N
)  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem elfzp1
StepHypRef Expression
1 fzsuc 9856 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( M ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
21eleq2d 2209 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  K  e.  (
( M ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ) )
3 elun 3217 . . 3  |-  ( K  e.  ( ( M ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } )  <-> 
( K  e.  ( M ... N )  \/  K  e.  {
( N  +  1 ) } ) )
4 eluzelz 9342 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
54peano2zd 9183 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
6 elsn2g 3558 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( K  e.  { ( N  +  1 ) }  <->  K  =  ( N  +  1 ) ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  { ( N  + 
1 ) }  <->  K  =  ( N  +  1
) ) )
87orbi2d 779 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ( M ... N )  \/  K  e.  { ( N  + 
1 ) } )  <-> 
( K  e.  ( M ... N )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
93, 8syl5bb 191 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( ( M ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } )  <->  ( K  e.  ( M ... N
)  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
102, 9bitrd 187 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( M ... N
)  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3069   {csn 3527   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7628    + caddc 7630   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by:  fzpr  9864  fzm1  9887
  Copyright terms: Public domain W3C validator