Theorem elfzp1 10410

Description: Append an element to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem elfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 10406	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
2	1	eleq2d 2304	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> K e. ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) ) )
3		elun 3362	. . 3 |- ( K e. ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K e. { ( N + 1 ) } ) )
4		eluzelz 9866	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	4	peano2zd 9706	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
6		elsn2g 3724	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( K e. { ( N + 1 ) } <-> K = ( N + 1 ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. { ( N + 1 ) } <-> K = ( N + 1 ) ) )
8	7	orbi2d 798	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K e. ( M ... N ) \/ K e. { ( N + 1 ) } ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
9	3, 8	bitrid 192	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
10	2, 9	bitrd 188	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3211   {csn 3691   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1c1 8130   + caddc 8132   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  fzpr  10415  fzm1  10438  seqf1oglem1  10885  seqf1oglem2  10886  ballotfilemfc0  13153  ballotfilemfcc  13154