Theorem fzsuc 10146

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Proof of Theorem fzsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 9659	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10109	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4		peano2fzr 10114	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
5	3, 4	mpdan 421	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
6		fzsplit 10128	. . 3 |- ( N e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
8		eluzelz 9612	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
9		fzsn 10143	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
10	1, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
11	10	uneq2d 3318	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
12	7, 11	eqtrd 2229	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   {csn 3623   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   1c1 7882   + caddc 7884   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086

This theorem is referenced by:  elfzp1  10149  fztp  10155  fzsuc2  10156  exfzdc  10318  uzsinds  10538  prmind2  12298  gsumfzfsumlemm  14153  2sqlem10  15376