Theorem fzsuc 10071

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Proof of Theorem fzsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 9585	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10034	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4		peano2fzr 10039	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
5	3, 4	mpdan 421	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
6		fzsplit 10053	. . 3 |- ( N e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
8		eluzelz 9539	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
9		fzsn 10068	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
10	1, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
11	10	uneq2d 3291	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
12	7, 11	eqtrd 2210	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   {csn 3594   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1c1 7814   + caddc 7816   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  elfzp1  10074  fztp  10080  fzsuc2  10081  exfzdc  10242  uzsinds  10444  prmind2  12122  2sqlem10  14511