Theorem fzsuc 10475

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Proof of Theorem fzsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 9983	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10436	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4		peano2fzr 10441	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
5	3, 4	mpdan 425	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
6		fzsplit 10456	. . 3 |- ( N e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
8		eluzelz 9931	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
9		fzsn 10472	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
10	1, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
11	10	uneq2d 3383	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
12	7, 11	eqtrd 2271	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3709   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  elfzp1  10479  fztp  10485  fzsuc2  10486  exfzdc  10659  uzsinds  10881  prmind2  12898  2sqlem10  16244