ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsuc Unicode version

Theorem fzsuc 9800
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( M ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) )

Proof of Theorem fzsuc
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9330 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzfz2 9763 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
4 peano2fzr 9768 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
53, 4mpdan 415 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6 fzsplit 9782 . . 3  |-  ( N  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  ( M ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( M ... N )  u.  (
( N  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( M ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ) )
8 eluzelz 9287 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
9 fzsn 9797 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( N  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  =  { ( N  +  1 ) } )
101, 8, 93syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  { ( N  + 
1 ) } )
1110uneq2d 3198 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... N )  u.  ( ( N  + 
1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( M ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
127, 11eqtrd 2148 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( M ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463    u. cun 3037   {csn 3495   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1c1 7585    + caddc 7587   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  elfzp1  9803  fztp  9809  fzsuc2  9810  exfzdc  9968  uzsinds  10166  prmind2  11708
  Copyright terms: Public domain W3C validator