Theorem fzsuc 9964

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Proof of Theorem fzsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 9488	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9927	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4		peano2fzr 9932	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
5	3, 4	mpdan 418	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
6		fzsplit 9946	. . 3 |- ( N e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
8		eluzelz 9442	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
9		fzsn 9961	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
10	1, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = { ( N + 1 ) } )
11	10	uneq2d 3261	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... N ) u. ( ( N + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
12	7, 11	eqtrd 2190	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( N + 1 ) ) = ( ( M ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   {csn 3560   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   1c1 7727   + caddc 7729   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433   ...cfz 9905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906

This theorem is referenced by:  elfzp1  9967  fztp  9973  fzsuc2  9974  exfzdc  10132  uzsinds  10334  prmind2  11988