Theorem fzpr 9888

Description: A finite interval of integers with two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzpr	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Proof of Theorem fzpr

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9364	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzp1 9883	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
4		fzsn 9877	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
5	4	eleq2d 2210	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m e. { M } ) )
6		velsn 3549	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
7	5, 6	syl6bb 195	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m = M ) )
8	7	orbi1d 781	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
9	3, 8	bitrd 187	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
10		vex 2692	. . . 4 |- m e. _V
11	10	elpr 3553	. . 3 |- ( m e. { M , ( M + 1 ) } <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) )
12	9, 11	syl6bbr 197	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> m e. { M , ( M + 1 ) } ) )
13	12	eqrdv 2138	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532   {cpr 3533   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fztp  9889  fzprval  9893  fzo0to2pr  10026  fzo0to42pr  10028