Theorem fzpr 10152

Description: A finite interval of integers with two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzpr	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Proof of Theorem fzpr

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9615	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzp1 10147	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
4		fzsn 10141	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
5	4	eleq2d 2266	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m e. { M } ) )
6		velsn 3639	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m = M ) )
8	7	orbi1d 792	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
9	3, 8	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
10		vex 2766	. . . 4 |- m e. _V
11	10	elpr 3643	. . 3 |- ( m e. { M , ( M + 1 ) } <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) )
12	9, 11	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> m e. { M , ( M + 1 ) } ) )
13	12	eqrdv 2194	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3622   {cpr 3623   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  fztp  10153  fzprval  10157  fz0to3un2pr  10198  fz0to4untppr  10199  fzo0to2pr  10294  fzo0to42pr  10296  gsumprval  13042