Theorem fzpr 10008

Description: A finite interval of integers with two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzpr	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Proof of Theorem fzpr

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9476	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzp1 10003	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
4		fzsn 9997	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
5	4	eleq2d 2235	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m e. { M } ) )
6		velsn 3592	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
7	5, 6	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m = M ) )
8	7	orbi1d 781	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
9	3, 8	bitrd 187	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
10		vex 2728	. . . 4 |- m e. _V
11	10	elpr 3596	. . 3 |- ( m e. { M , ( M + 1 ) } <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) )
12	9, 11	bitr4di 197	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> m e. { M , ( M + 1 ) } ) )
13	12	eqrdv 2163	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   {csn 3575   {cpr 3576   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   1c1 7750   + caddc 7752   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462   ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941

This theorem is referenced by:  fztp  10009  fzprval  10013  fz0to3un2pr  10054  fz0to4untppr  10055  fzo0to2pr  10149  fzo0to42pr  10151