Theorem fzpr 10091

Description: A finite interval of integers with two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzpr	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Proof of Theorem fzpr

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9556	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzp1 10086	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
4		fzsn 10080	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
5	4	eleq2d 2257	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m e. { M } ) )
6		velsn 3621	. . . . . 6 |- ( m e. { M } <-> m = M )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... M ) <-> m = M ) )
8	7	orbi1d 792	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( m e. ( M ... M ) \/ m = ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
9	3, 8	bitrd 188	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) ) )
10		vex 2752	. . . 4 |- m e. _V
11	10	elpr 3625	. . 3 |- ( m e. { M , ( M + 1 ) } <-> ( m = M \/ m = ( M + 1 ) ) )
12	9, 11	bitr4di 198	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( m e. ( M ... ( M + 1 ) ) <-> m e. { M , ( M + 1 ) } ) )
13	12	eqrdv 2185	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   {csn 3604   {cpr 3605   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1c1 7826   + caddc 7828   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023

This theorem is referenced by:  fztp  10092  fzprval  10096  fz0to3un2pr  10137  fz0to4untppr  10138  fzo0to2pr  10232  fzo0to42pr  10234